Aperiodic waveform หมายถึง

A signal is said to be periodic signal if it has a definite pattern and repeats itself at a regular interval of time. Whereas, the signal which does not at the regular interval of time is known as an aperiodic signal or non-periodic signal.

Continuous Time Periodic Signal

A continuous time signal x(t) is said to be periodic if and only if

𝑥(𝑡 + 𝑇) = 𝑥(𝑡) for − ∞ < 𝑡 < ∞

Where, T is a positive constant that represents the time period of the periodic signal. The smallest value of the time period (T) which justifies the definition of the periodic signal is known as fundamental time period of the signal and is denoted by (𝑇0).

Also,

𝑥(𝑡 + 𝑚𝑇) = 𝑥(𝑡)

Where, m is an integer. This means if the definition is satisfied for 𝑇 = 𝑇0, then it is also satisfied for 𝑇 = 2𝑇0, 𝑇 = 3𝑇0 … and so on with 𝑇0 as the fundamental time period. Therefore, the fundamental time period defines the duration of one complete cycle of the periodic signal x(t).

The reciprocal of the time period (T) of the periodic signal is called the frequency (f) of the signal, i.e.,

$$\mathrm{f=\frac{1}{T}}$$

Since the angular frequency is given by,

𝜔 = 2𝜋𝑓

$$\mathrm{\therefore Time\, period,\: T=\frac{2\Pi }{f}}$$

Some examples of continuous-time periodic signals are shown in Figure-1.

Discrete Time Periodic Signal

A discrete-time signal x(n) is said to be periodic if it satisfies the following condition

𝑥(𝑛) = 𝑥(𝑛 + 𝑁);   for all integers 𝑛

Here, N is the time period of the periodic signal and a positive integer. The smallest value of the time period (N) which satisfies the above condition is known as fundament time period of the signal. The fundamental time period (N) may be defined as the minimum number of samples taken by signal to repeat itself.

The angular frequency of the discrete time periodic sequences is given by,

$$\mathrm{\omega =\frac{2\Pi }{N}}$$

Therefore, the time period of the sequence is,

$$\mathrm{N =\frac{2\Pi }{\omega }}$$

Some examples of the discrete time periodic sequences are shown in Figure-2.

Continuous Time Aperiodic Signal

If a continuous time signal does not have a definite pattern and does not repeat at regular intervals of time is known as continuous time aperiodic signal or nonperiodic signal.

In other words, a signal x(t) for which no value of time t satisfies the condition of periodicity, is known as aperiodic or non-periodic signal.

Some examples of continuous-time aperiodic signals is shown in Figure-3.

Discrete Time Aperiodic Signal

If the condition of periodicity is not satisfied even for one value of n for a discrete time signal x(n), then the discrete time signal is aperiodic or nonperiodic. Examples of discrete time aperiodic signals are shown in Figure-4.

Numerical Example

Examine whether the following signals are periodic or not? If periodic then determine the fundamental period of the signal.

• 𝑥(𝑡) = sin 10𝜋𝑡

• 𝑥(𝑡) = sin 𝜋𝑡 𝑢(𝑡)

Solution

• Given signal is,

  𝑥(𝑡) = sin 10𝜋𝑡

  Since the signal x(t) is a sinusoidal signal, hence, it is a periodic signal.

  Now, comparing x(t) with standard signal, i.e., sin 𝜔𝑡, we get,

  𝜔 = 10𝜋

  $$\mathrm{\therefore \: Fundamental \: Period ,T =\frac{2\Pi }{\omega }=\frac{2\Pi }{10\Pi }=\frac{1}{5}\: sec}$$

• Given signal is,

  𝑥(𝑡) = sin 𝜋𝑡 𝑢(𝑡)

  Here, x(t) is the product of sinusoidal signal (sin 𝜋𝑡) and unit step signal (𝑢(𝑡)). As we know, the signal sin 𝜋𝑡 is periodic with time period 𝑇 = 2𝜋⁄𝜔 while the signal 𝑢(𝑡) exists only for 0 < 𝑡 < ∞. Thus, 𝑢(𝑡) is not a periodic signal.

  *Digital หรือ Analog สามารถเป็นได้ทั้งมีคาบและไม่มีคาบ แต่โดยปกติแล้ว ถ้าพูดถึงการสื่อสารข้อมูล จะสรุปได้ว่า Analog หมายถึงสัญญาณแบบมีคาบ Digital หมายถึงแบบไม่มีคาบ
  
  Analog Signal
  เป็นสัญญาณที่มีคลื่นเคลื่อนที่ขึ้นลง สลับกันไป คือคลื่นรูปซายน์ (Sine wave)
  
  

  
  

  คลื่นรูปซายน์จะเริ่มค่าจาก 0 แล้วค่อยๆเพิ่มตามระยะเวลาจนถึงจุดสูงสุด(Peak amplitude) จากนั้นจะลดมา 0 และลงไปจุดต่ำสุด แล้ววนขึ้นมาอีก ซ้ำไปมา หรือเรียกการเปลี่ยนแปลงสัญญาณใน 1 วงรอบ(cycle)

  
  

  ความถี่ของสัญญาณหมายถึงจำนวนคาบเวลาต่อวินาที คือคลื่นมีความถี่มากแสดงว่ามีคาบเวลาน้อย คลื่นความถี่น้อย คาบเวลาก็จะมาก ตามสมการ f = 1/T และ T= 1/f

  
  

  *คาบเวลามีหน่วยเป็นวินาที ความถี่มีหน่วยเป็นเฮิรตซ์ (hertz)

  
  

  เฟส(Phase)

  เฟสของสัญญาณอะนาล็อกจะเป็นค่าที่แสดงถึงตำแหน่งต่างๆของคลื่นรูปซายน์ ถ้าเลื่อนแกน y ไปทางขวาหรือซ้าย จะเห็นถึงเฟสที่มีความแตกต่างกันไป เฟสมีหน่วยเป็นองศาหรือ เรเดียน(radian)

  
  

  360 = 2π rad

  
  

  90 คือเคลื่อน 1/4 ลูก 180 คือครึ่งลูก 360 จนจบลูกคลื่นพอดี

  
  

  Time and Frequency Domain 

  
  

  เขียนได้สองแบบ

  แบบแรก Time-domain เป็นกราฟที่แสดงถึงค่าแอมพลิจูด ความถี่ และเฟส แกน x แทนด้วยเวลา และแกน Y แทนด้วยแอมพลิจูด กราฟแบบนี้แสดงถึงเฟสและความถี่ ไม่ดีเท่าไหร่ (รูปล่างซ้าย)

  
  

  แบบสอง Frequency-domain กราฟที่แสดงถึงแอมพลิจูดและความถี่ โดยแกน x คือความถี่ และ y คือแอมพลิจูด (รูปล่างขวา)

  
  

  *อะนาล็อกควรใช้กราฟแบบน Frequency ดูจะเป็นทางเลือกที่เหมาะสมกว่า

  
  

  
  
  

  
  

  
  

  Composite Signals

  
  

  คือการที่คลื่นรูปซายน์ที่แตกต่างกันมารวมกันเกิดเป็นคลื่นใหม่ เพราะในด้านการสื่อสารข้อมูล คลื่นรูปซายน์แบบเดียวไม่เพียงพอต่อการใช้งานจึงต้องมี Composite Signals ขึ้นมา

  
  

  
  

  แบนด์วิดธ์ (Bandwidth)

  
  

  สื่อชนิดต่างๆจะมีคุณสมบัติและความสามารถในการให้ความถี่ต่างๆผ่านไปได้ไม่เท่ากัน บางชนิดให้ความถี่สูงผ่านได้ บางชนิดไม่ได้ ช่วงความถี่ที่สื่อสามารถผ่านไปได้จะเรียก แบนด์วิดธฺ์ หรือย่านความถี่

  
  

  การหาแบนวิดธ์คือหาความต่างของความถี่สูงสุดกับต่ำสุด เช่นสื่อชนิดหนึ่งส่งผ่านความถี่ได้ในช่วง 1000 ถึง 5000 เฮิรตซ์ แสดงว่าแบนวิดธ์คือ 4000 เฮิรตซ์

  
  

  ฺฺตามสมการ    B = fmax- fmin

  
  

  Digital Signal

  
  

  โดยส่วนใหญ่สัญญาณดิจิตอลจะเป็นสัญญาณไม่มีคาบ คาบเวลาและความถี่จึงจะไม่ถูกนำมาใช้ในดิจิตัล แต่จะใช้คำว่า bit interval แทนคาบเวลา และ bit rate แทนความถี่

  
  

  bit interval หมายถึง เวลาที่ต้องใช้ในการส่งข้อมูล 1 บิต มีหน่วยเป็นวินาที

  bit rate หมายถึง อัตราการส่งข้อมูลบิตข้อมูลใน 1 วินาทีมีหน่วย bps(bits per second)

  
  

  อัตราการส่งข้อมูลในช่องสื่อสาร ขึ้นอยู่กับ 3 องค์ประกอบคือ

  - แบนด์วิดธ์

  - ระดับของสัญญาณ

  - คุณภาพช่องสัญญาณ (วัดจารระดับการรบกวน)/

  
  

  ปัจจัยที่ส่งผลกระทบกับสัญญาณ

  
  

  ความเบาบางของสัญญาณ (Attenuation) เกิดจากการสูญพลังงานในระหว่างการส่ง เนื่องจากตัวกลางต้านๆจะมีความต้านทานอยู่ในตัวเอง ดังนั้นเมื่อผ่านสื่อเหล่านั้นพลังงานจะเปลี่ยนเป็นความร้อน จึงเกิดความเบาบาง ยิ่งไกลเท่าไหร่ยิ่งเบาเท่านั้น จึงต้องมีตัวขยายสัญญาณช่วย(amplify)

  
  

  การบิดเบี้ยวของสัญญาณ(distoriton)

  การที่สัญญาณมีลักษณะที่ผิดเพี้ยนไปจากเดิม เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นการ composite signal เนื่องจากสัญญาณแบบนี้เกิดจากการรวมกันของคลื่นซายซ์ ทำให้ความถี่มีความแตกต่างกัน มีความเป็นไปได้ที่ผ่านตัวกลางแล้ว สัญญาณนั้นจะไม่เท่ากัน บางตัวเร็ว บางตัวช้า จึงอาจเกิดการบิดเบี้ยว

  
  

  สัญญาณรบกวน(noise)

  - thernal noise เป็นสัญญาณรบกวนที่เกิดจากการเคลื่อนที่ผิดปกติของอิเล็กตรอนในสายสื่อสาร

  - crosstalk เป็นสัญญาณรบกวนที่เกิดจากสายสื่อสารที่อยู่ติดกัน รบกวนกันเอง

  -impulse noise เป็นสัญญาณรบกวนฉับพลันที่เกิดจาไฟฟ้าแรงสูง เช่นฟ้าผ่า

  
  

  คำศัพท์ที่ควรรู้เพิ่มเติม

  
  

  Throughput เป็นเครื่องมือที่เอาไว้ใช้วัดว่าข้อมูลสามารถเดินทางได้เร็วเท่าไร โดยการเอากำแพงขวางไหว ข้อมูลผ่านกำแพงนี้ได้กี่บิตต่อวินาที

  
  

  Propagation Speed เป็นการวัดระยะทางของสัญญาณหรือบิตข้อมูลที่สามารถเดินทางผ่านสื่อกลางได้ในเวลา 1 วินาที ค่านี้แต่ละตัวกลางจะไม่เท่ากัน

  
  

  Propagation Time เป็นเวลาที่สัญญาณหรือบิตข้อมูลเดินทางจากที่หนึ่งไปที่หนึ่ง การหานั้นทำได้โดย

  
  

  progation time = distance / propagation speed

  
  

  Wavelength คือความยาวคลื่น เป็นการวัดระยะของคลื่น 1 ลูกคลื่น หรือ 1 คาบเวลา ความยาวคลื่นถือเป็นคุณลักษณะหนึ่งของสัญญาณขึ้นอยู่กับชนิดของสื่อกลางแล้วขึ้นอยู่กับความถี่และชนิดสื่อด้วย