ใบงาน รายวิชาคณิคต2ศ3า1ส0ต1 ร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เอกสารประกอบการเรียน ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 3 อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว สอนโดย คสุณครู........................................................................................... ชื่อ………………………………………………………………นามสกุล………….............................…………… กลมุ่
สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ คณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน ค23101 1 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3 บทท่ี 1 อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว บทที่ 1 เรื่อง อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว ในชวี ิตประจำวนั เราจะพบเห็นป้ายท่ีเก่ียวข้องกับ “การไมเ่ ทา่ กัน” อย่บู อ่ ยๆ เช่นคำว่า “ตำ่ กวา่ ” “ไมเ่ กิน” ปา้ ยจราจรท่ีจำกดั ความเร็ว 120 กโิ ลเมตรตอ่ ช่ัวโมง หมายความวา่ ผู้ขบั ขส่ี ามารถขับรถดว้ ยอัตราเรว็ เท่าใดกไ็ ด้ ตอ่ ไปนีเ้ ป็นตัวอย่างของการอ่านและความหมายของสญั ลกั ษณ์ท่ีใช้แสดงความสมั พันธข์ องจำนวน สัญลกั ษณ์ คำอ่าน ความหมาย x 2 x ไม่เทา่ กบั 2 x มีคา่ เกิน 2 x 2 x มากกว่าหรอื เทา่ กับ 2 x 2 หรอื x = 2 x 2 และ x 4 1 คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน ค23101 1 ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 3 บทท่ี 1 อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว อสมการ (inequality) เป็นประโยคทแ่ี สดงถงึ ความสมั พันธ์ของจำนวนโดยใช้ ในอสมการอาจมีตัวแปรหรือไมม่ ีตวั แปรก็ได้ ถา้ อสมการมีตัวแปร ตัวแปรนนั้ จะแทนจำนวน ในกรณีทีไ่ ม่ระบุ อสมการท่ีมตี วั แปรเดยี วจะเรียกวา่ อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว (linear inequality with one variable) ขอ้ ความ อสมการ 1) ผลบวกของจำนวนหนง่ึ กบั แปดน้อยกวา่ สิบสอง x + 8 12 4 ( x + 8) 2 2(x −4) 6 แบบฝกึ หัดท่ี 1 1. จงเขยี นประโยคท่ใี ช้สัญลักษณ์ทางคณติ ศาสตรแ์ ทนแต่ละขอ้ ความต่อไปน้ี (ให้ x แทนจำนวนจำนวนหนึง่ ) ข้อความ อสมการ 1)
สามเท่าของจำนวนจำนวนหน่งึ ไม่เกนิ 18 ผลบวกของจำนวนจำนวนนนั้ กับ 8 2 คณิตศาสตร์พื้นฐาน ค23101 1 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3 บทที่ 1 อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว 2. คำตอบของอสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว นัน้ เป็นอสมการที่เปน็ จรงิ หรือไม่เปน็ จรงิ เรายังบอกไม่ไดว้ า่ อสมการนเี้ ปน็ อสมการทเ่ี ป็นจริงหรอื ไมจ่ ริง เพราะขึ้นอยู่กับคา่ ของ x คำตอบของอสมการ (solution of an inequality) คือ จำนวนท่ีแทนตวั แปร ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาคำตอบของอสมการ x −3 แลว้ จะทำให้ได้อสมการทเี่ ป็นจริง ตวั อยา่ งที่ 5 จงเขยี นกราฟแสดงคำตอบของอสมการต่อไปน้ี 1) x 20 2) y 1 3 คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน ค23101 1 ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 3 บทที่ 1 อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว ตัวอยา่ งท่ี 6 จงหาว่ากราฟแสดงคำตอบในแตล่ ะข้อต่อไปนแ้ี สดงจำนวนใดบา้ ง ตอบ จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่า 40 ตอบ จำนวนจริงทกุ จำนวนที่มมี ากกวา่ หรอื เท่ากับ −5 ตอบ จำนวนจริงทกุ จำนวนท่ีมากกว่าหรือเทา่ กับ −60 แตน่ ้อยกกวา่ 20 แบบฝกึ หดั ที่ 2 1) x 18 2) a −3 3) n 12 4) x 20 5) − 9 x 9 6) 18 x 24 2.จงหาวา่ กราฟแสดงคำตอบในแตล่ ะข้อต่อไปน้ีแสดงจำนวนใดบ้าง 4 คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน ค23101 1 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 3 บทที่ 1 อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ตอบ
……………………………………………………………………………………………………………………………………… ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 6) 7) ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 8) ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว การไมเ่ ทา่ กนั
(properties of inequality) ในการหาคำตอบ เช่น สมบัติการบวกของการไม่เท่ากัน และสมบัติการคูณ สมบตั ิการบวกของการไมเ่ ท่ากัน สมบตั ิการบวกของการไมเ่ ทา่ กนั 5 1) ถา้ a b แล้ว a + c b + c 1) ถ้า a b แล้ว a + c b + c คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน ค23101 1 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 3 บทท่ี 1 อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว ตัวอยา่ งท่ี 7 จงแกส้ มการ x −14 2 และเขียนกราฟแสดงคำตอบ วธิ ีทำ จาก x −14 2 จะได้ x −14 +14 2 +14 ดงั น้ัน x 16 น่นั คอื คำตอบของอสมการ x −14 2 คือ จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนท่มี ากกวา่ 16 และเขยี นกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 8 จงแกส้ มการ 7 + x 20 และเขียนกราฟแสดงคำตอบ จะได้ x 20 − 7 สมบัติการคณู ของการไม่เท่ากนั ให้ a, b และ c แทนจำนวนจรงิ ใดๆ สมบัติการคณู ของการไม่เทา่ กนั ให้ a, b และ c แทนจำนวนจรงิ ใดๆ 6 คณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐาน ค23101 1 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 3 บทท่ี 1 อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว ตวั อยา่ งที่ 9 จงแก้อสมการ 3x − 6 −18 และเขยี นกราฟแสดงคำตอบ วธิ ที ำ จาก 3x − 6 −18 จะได้ 3x − 6 + 6 −18 + 6 ดังน้นั 3x −12 จะได้ 1 (3x) 1 ( −12 ) ดงั น้ัน x −4 น่นั คอื คำตอบของอสมการ 3x − 6 −18 คอื จำนวนจริงทกุ จำนวนท่ี −4 และเขียนกราฟแสดงคำตอบไดด้ งั น้ี ตัวอย่างท่ี 10 จงแกอ้ สมการ 7 − 3x 3x + 37 และเขยี นกราฟแสดงคำตอบ วิธีทำ จาก 7 − 3x 3x + 37 จะได้ −3x 3x + 30 −6x 30 นนั่ คอื คำตอบของอสมการ 7 − 3x 3x + 37 คอื จำนวนจรงิ ทุกจำนวนทีน่ ้อยกว่า −5 ตัวอย่างท่ี 11 จงแกอ้ สมการ 5(x + 4) 6(2x − 6) และเขยี นกราฟแสดงคำตอบ วิธที ำ จาก 5(x + 4) 6(2x − 6) จะได้ 5x + 20 12x − 36 5x 12x − 56 −7x −56 x8 นนั่ คือ คำตอบของอสมการ 5(x + 4) 6(2x − 6) คือ จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ 8 7 คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน ค23101 1 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 3 บทที่ 1 อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว ตวั อย่างที่ 12 จงแก้อสมการ x +15 36 และเขยี นกราฟแสดงคำตอบ วธิ ที ำ พิจารณา x +15 = 36 จะได้ x = 21 ดงั นัน้ 21 เปน็ คำตอบของสมการ x +15 = 36 นนั่ คือ คำตอบของอสมการ x +15 36 คอื จำนวนจริงทกุ จำนวนยกเว้น 21 และเขยี นกราฟแสดงคำตอบไดด้ งั นี้ แบบฝึกหัดท่ี 3 1.จงแกส้ มการตอ่ ไปน้ี และเขียนกราฟแสดงคำตอบ 1) x + 5 12 2 ) 10 − a 8 3) c −1 5 4) − x + 2 −3 วิธีทำ……………………………………………………………………….. วธิ ีทำ……………………………………………………………………….. …………………………………………………..………………………….. …………………………………………………..………………………….. …………………………………………………..…………………………. …………………………………………………..…………………………. …………………………………………………..………………………….. …………………………………………………..………………………….. …………………………………………………..………………………….. …………………………………………………..………………………….. 8 คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน ค23101 1 ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 3 บทที่ 1 อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว 5) x + 2 3 6) 3(m −1) 18 …………………………………………………..………………………….. …………………………………………………..………………………….. …………………………………………………..………………………….. 7) x +1 7 8) x +1 14 วธิ ที ำ……………………………………………………………………….. วิธีทำ……………………………………………………………………….. …………………………………………………..…………………………. …………………………………………………..…………………………. …………………………………………………..………………………….. …………………………………………………..………………………….. 9 คณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐาน ค23101 1 ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 3 บทที่ 1 อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว 9) b + 4 2b −1 10) 0.7a 0.3a + 2 11) 4x − 3 6x + 6 12) 5n − 3 1 n + 2 …………………………………………………..………………………….. …………………………………………………..………………………….. …………………………………………………..………………………….. 2.
จงแก้สมการต่อไปนี้ 2 ) − 2x −10 5x + 4 10 คณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐาน ค23101 1 ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 3 บทที่ 1 อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดียว 3) 24x − 4.5 15(x + 0.3) 4) 2(x −15) −(3x + 5) 4.โจทยป์ ัญหาเก่ียวกบั อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว นักเรยี นเคยแก้โจทย์ปัญหาเก่ียวกับสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียวมาแล้ว ในการแก้โจทยป์ ญั หาเกีย่ วกับอสมการเชิง ข้ันที่ 1 วิเคราะห์โจทย์เพื่อหาวา่ โจทยก์ ำหนดอะไรมาใหแ้ ละใหอ้ ะไร ตวั อย่างท่ี 13 เพนนีมีเงินสะสมอยจู่ ำนวนหนึ่ง วันหนง่ึ พอ่ ใหเ้ งินเพนนเี ปน็ พิเศษ 600 บาท วนั รุ่งขน้ึ เพนนซี ื้ออาหารให้ แมวและนกที่เลี้ยงไวเ้ ปน็ เงนิ 420 บาท เพนนรี วู้ ่ายังเหลอื เงินอยู่ไม่น้อยกว่าครงึ่ หนงึ่ ของเงินของเพนนีและเงนิ ท่ีพ่อให้ รวมกนั จงหาวา่ เดิมเพนนีมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อยกี่บาท วิธที ำ ให้เดมิ เพนนีมเี งินสะสมอยู่ x บาท พอ่ ใหเ้ งนิ เพนนี 600 บาท เพนนีจึงมีเงินรวมท้ังสิ้น x + 600 บาท หลงั จากเพนนีซื้ออาหารให้แมวและนก 420 บาท จะเหลือเงิน (x + 600) − 420 บาท เน่ืองจาก เพนนีเหลือเงนิ อยู่ไม่นอ้ ยกว่าครึ่งหน่งึ ของ x + 600 จะได้อสมการเปน็ ( x + 600) − 420 1 ( x + 600) 240 11 คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน ค23101 1 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 3 บทที่ 1 อสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว ดังน้นั เดิมเพนนีมีเงินสะสมอยูอ่ ยา่ งน้อย 240 บาท ตัวอย่างที่ 14
สามเทา่ ของจำนวนเต็มบวกจำนวนหน่ึงมากกวา่ 15 อยู่ไมเ่ กิน 9 จำนวนเตม็ บวกนนั้ เป็นจำนวนใดบา้ ง สามเทา่ ของจำนวนเตม็ บวกน้ันคือ 3x 3x 24 และเนอ่ื งจากโจทยก์ ำหนดให้ สามเท่าของจำนวนเตม็ บวกน้ันมากกวา่ 15 x5 จาก x 8 และ x 5 อาจเขียนไดเ้ ปน็ 5 x 8 แบบฝึกหดั ที่ 4 1. มาวนิ อ่านหนงั สอื เล่มหนงึ่ วนั แรกอา่ นได้ 2 ของเลม่ วันต่อมาอา่ นได้อีก 25 หน้า รวมสองวนั อ่านไดม้ ากกวา่ ครงึ่ เลม่ จงหาวา่ หนงั สอื เลม่ นีม้ ีจำนวนหนา้ อยา่ งมากกหี่ น้า วิธีทำ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 12 คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน ค23101 1 ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 3 บทที่ 1 อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว 2. ปญั ญามเี หรียญบาทและเหรียญหา้ บาทอยู่ในกระป๋องออมสนิ จำนวนหนงึ่ เมือ่ เหรยี ญเตม็ กระป๋อง เขาเทออกมานับ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3. ถ้าสองเทา่ ของจำนวนเตม็ บวกจำนวนหนึ่งมากกวา่ 20 อยู่ 6 จำนวนดังกล่าวเป็นจำนวนใดได้บา้ ง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 13 คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน ค23101 1 ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 3 บทที่ 1 อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว 4.รูปสเ่ี หล่ยี มผืนผ้ารูปหนึ่งมอี ัตราส่วนของความกวา้ งต่อความยาวเป็น 3: 5 และมีความยาวรอบรูปไมน่ ้อยกว่า 48 เซนตเิ มตร รูปส่ีเหล่ียมผืนผา้ รูปน้มี พี นื้ ที่อยา่ งน้อยเทา่ ไร ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 5. จำนวนจำนวนหน่ึงรวมกับ 1 ของผลบวกของจำนวนน้ันกับ 5 แลว้ ยงั น้อยกว่า 7 จงหาวา่ จำนวนดังกล่าวเป็นจำนวน ใดได้บา้ ง ถา้ 1) จำนวนน้นั เปน็ จำนวนนับ 2) จำนวนนน้ั เป็นจำนวนเตม็ วิธที
ำ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 14 คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน ค23101 1 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 3 บทท่ี 1 อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดียว 6.อาทติ ย์สอบได้คะแนนวชิ าวิทยาศาสตรค์ รั้งท่ี 1 ครง้ั ที่ 2 และครงั้ ท่ี 3 เป็น 69,75 และ 72 คะแนนตามลำดบั ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 7.แมค่ า้ ต้องการบรรจมุ ะมว่ งใส่ลงั ไม้ ซงึ่ ลงั เปล่าแตล่ ะใบหนัก 2.5 กิโลกรมั มะมว่ งแต่ละผลมีขนาดใกล้เคียงกัน หนัก 15 เอก ารประกอบการเรียน ชน้ั มธั ยม กึ าปที ่ี 3 ภาคเรยี นท่ี 1 ปีการ ึก า 2564 เร่อื ง ax2 + bx + c = 0 อนโดย ช่ือ นาม กุล กลุ่ม าระการเรียนรู้คณิต า ตร์ บทที่ 3 แนะนำ มการกำลัง องตั แปรเดีย นกั เรยี นเคยทราบมาแล้ววา่ พ ุนาม เช่น 4x2, x2 – 5, 3x2 + x และ x2 – 4x + 1 เปน็
พ นุ ามดีกรี องที่ ตอ่ ไปนเ้ี ป็นตัวอย่างของ มการกำลัง องตวั แปรเดียว มการกำลัง องตั แปรเดยี (one-variable quadratic equation) มรี ูปทัว่ ไปเป็น ax2 + bx + c = 0 ในบางคร้งั เราอาจพบ มการกำลัง องตวั แปรเดยี วที่ไมไ่ ดเ้ ขยี นอยู่ในรูปทว่ั ไป แต่เรา ามารถเขียน มการเ ลา่ นั้น ใ ้อยใู่ นรูปทั่วไปได้ ดังตัวอย่างตอ่ ไปน้ี 1. x2 + 5 = 2x x2 + 5 + (-2x) = 2x + (-2x) x2 – 2x + 5 =0 2. -y(4y + 7) = -8 -4y2 – 7y = -8 -4y2 – 7y + 8 = 0 3. 2m2 – 10 = -3m2 + 4 2m2 – 10 + 3m2 – 4 = 0 5m2 – 14 =0 แบบฝึก ดั 3.1 1. มการท่กี ำ นดใ ้ต่อไปน้ี เป็น มการกำลัง องตวั แปรเดยี ว รือไม่ จงเขียน ลงในชอ่ งท่ีเป็นคำตอบที่ ถกู ต้อง ข้อท่ี มการ มการกำลัง องตั แปรเดีย 1 -z2 + 15 – 4z = 0 2 0 = 6t2 – 5 3 4 – 3x = 0 4 - 21u + 7 - 34u2 = 0 6 m2 + 2n – 1 = 0 7 0 = x + 2x 8 12y2 = 0 9 3w2 + 8w – 5 – 3w2 = 0 10 0 = 11v – 12v2 + 13 2. จงเขียน มการกำลัง องตัวแปรเดียวต่อไปนี้ใ ้อยู่ในรูปทั่วไป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ x เป็นตัวแปร a, b และ c เปน็ คา่ คงตัว โดย a ≠ 0 พร้อมท้ังบอกคา่ a, b และ c ในแตล่ ะ มการ\ ขอ้ มการ มการรปู ท่ั ไป คา่ 1 x2 – 3x = 8 2 2m2 – 7 = m 3 z2 = -4 4 0.8x – 1 = 1.5x2 5 (k – 1)2 = 0 6 3z(1.2 – z) = 2.4 7 y2 + 6y = 2 – 3y2 8 (n + 4)2 = 1 + 8n 9 (m – 9)(m + 9) = 9 – m2 10 2 – 5k = k2 การแก้ มการกำลัง องตั แปรเดีย นกั เรยี นเคยทราบมาแลว้ ว่า คำตอบของ มการ คอื จำนวนจรงิ ที่แทนตวั แปรใน มการแล้วทำใ ไ้ ด้ มการ ทเี่ ปน็ จริง ใ ้นักเรียนพิจารณาการ าคำตอบของ มการกำลัง องตัวแปรเดียว โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปรใน มการ ดังตัวอยา่ งต่อไปน้ี 1. x2 – 4x = 0 เมื่อแทน x ด้วย 0 ใน มการ x2 – 4x = 0 จะได้ (0)2 – 4(0) = 0 0 = 0 ซ่งึ เป็น มการทีเ่ ป็นจริง ดังน้นั 0 เป็นคำตอบของ มการ x2 – 4x = 0 และเมื่อแทน x ดว้ ย 4 ใน มการ x2 – 4x = 0 จะได้ (4)2 – 4(4) = 0 0 = 0 ซงึ่ เป็น มการทเี่ ปน็ จริง ดังนั้น 4 เปน็ คำตอบของ มการ x2 – 4x = 0 และเมอ่ื แทน x ดว้ ยจำนวนจริงอน่ื ๆ ท่ไี มใ่ ช่ 0 และ 4 ใน มการ x2 – 4x = 0 แล้วจะได้ มการท่ีไม่เป็นจรงิ ดงั น้ัน คำตอบของ มการ x2 – 4x = 0 มี 2 คำตอบ คือ 0 และ 4 2. y2 + 6y + 9 = 0 เมอ่ื แทน y ด้วย -3 ใน มการ y2 + 6y + 9 = 0 จะได้ (-3)2 + 6(3) + 9 = 0 0 = 0 ซง่ึ เป็น มการทเ่ี ปน็ จรงิ ดงั นัน้ -3 เป็นคำตอบของ มการ y2 + 6y + 9 = 0 และเม่อื แทน y ด้วยจำนวนจรงิ อ่ืน ๆ ท่ีไมใ่ ช่ -3 ใน มการ y2 + 6y + 9 = 0 แล้วจะได้ มการทีไ่ ม่เป็นจริง ดังน้ัน คำตอบของ มการ y2 + 6y + 9 = 0 มี 1 คำตอบ คอื -3 3. z2 + 8 = 0 จาก มการ z2 + 8 = 0 z2 = -8 เน่อื งจาก จำนวนจรงิ ใด ๆ ยกกำลัง องแลว้ จะต้องเป็นจำนวนจรงิ บวก รือศูนย์ ดังนั้น ไมม่ ีจำนวนจริงใดยกกำลัง องแลว้ ไดผ้ ลลัพธเ์ ป็น -8 น่นั คอื ไมม่ ีจำนวนจริงใดเปน็ คำตอบของ มการ z2 + 8 = 0 จากตัวอยา่ งทั้ง ามข้างต้น แ ดงใ เ้ ็นว่า มการกำลงั องตัวแปรเดียวอาจมี 2 คำตอบ รือ 1 คำตอบ รืออาจไม่มีจำนวนจริงใดเปน็ คำตอบก็ได้ ในทางคณิตศา ตร์ มการกำลัง องตัวแปรเดียวมีคำตอบไดไ้ ม่เกิน 2 คำตอบ แบบฝึก ดั 3.2ก 1. จงตรวจ อบว่า จำนวนท่ีกำ นดใ ้ในช่องท้ายข้อ แต่ละจำนวนเปน็ คำตอบของ มการในแต่ละข้อ รอื ไม่ 2) n2 – 6n + 9 = 0 (3 กบั 0) 3) 2x2 – 7 x = 0 (7 กับ 0) 4) 2y2 = 15 + 7y (5 กับ - 23) 5) 0 = 25 + x2 (5 กบั -5) 6) 4z + 4z2 = -1 (- 1 กบั -1) 7) m2 – 6 = m (-2 กบั -3) 8) y2 = 10y - 25 (5 กบั 2) 2. จง าคำตอบของ มการตอ่ ไปน้ี 2) y2 – 5y = 0 3) z2 + 3 = 0 4) x2 – 1 = 0 5) k2 + k – 2 = 0 6) u2 – 8u + 16 = 0 การแก้ มการกำลัง องตั แปรเดยี โดย ิธแี ยกตั ประกอบ การแก้ มการกำลัง องตัวแปรเดียวเป็นการ าคำตอบทง้ั มดของ มการนน้ั ๆ ำ รับการแก้ มการ กำลงั องตวั แปรเดียวที่อย่ใู นรปู ax2 + bx + c = 0 เม่อื x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นคา่ คงตวั โดยท่ี a ≠ 0 ดว้ ย ลองแทนค่าตัวแปรน้ัน ในทางปฏิบตั ิ อาจทำไม่ได้ รอื อาจไม่ ะดวกและตอ้ งใชเ้ วลามาก ในกรณีท่ีเรา ามารถแยกตัวประกอบ ax2 + bx + c = 0 ใ อ้ ยู่ในรปู การณค์ ูณกนั ของพ ุนามดีกรี นึ่ง 2 พ นุ าม และเนอื่ งจากในทน่ี ี้พ นุ ามแทนจำนวน เราจึงใช้ มบัตขิ องจำนวนจรงิ ที่ว่า ถ้า m และ n เป็นจำนวนจริง และ mn = 0 แล้ว m = 0 รือ n = 0 มาใช้ในการแก้ มการด้วย ก็จะทำใ ้แก้ มการกำลัง องตัวแปรเดียวได้ ะดวกขน้ึ ตั อย่างที่ 1 จงแก้ มการ x2 – 10x + 25 = 0 ตร จ อบ ดงั นั้น
คำตอบของ มการ คือ 5 ตร จ อบ ิธีทำ x2 – 81 =0 0 = 0 ซึง่ เปน็ มการท่เี ปน็ จรงิ ดงั นน้ั x + 9 = 0 รือ x – 9 = 0 0 = 0 ซ่งึ เป็น มการทเ่ี ป็นจรงิ จะได้ x = -9 รือ x = 9 ดังนั้น คำตอบของ มการ คอื -9 และ 9 ตั อย่างท่ี 3 จงแก้ มการ x2 = 3x ตร จ อบ x2 – 3x =0 0 = 0 ซึง่ เป็น มการทเ่ี ปน็ จริง ดังน้ัน x = 0 รือ x – 3 = 0 0 = 0 ซึง่ เปน็ มการทีเ่ ปน็ จริง จะได้ x = 0 รอื x = 3 ดงั น้ัน คำตอบของ มการ คือ 0 และ 3 1. จงแก้ มการตอ่ ไปน้ี แบบฝกึ ัด 3.2 ข 3) z2 + 4z = -4 4) y2 + 5y + 6 = 0 5) -n2 = 3 – 4n 6) 14 – 5m = m2 7) p2 – 7p + 12 = 0 8) w2 = -6w 9) z2 + z = 30 10) p2 = -8p – 16 ตั อย่างท่ี 4 จงแก้ มการ 2x2 – x – 10 = 0 ตร จ อบ ธิ ีทำ 2x2 – x – 10 = 0 เมื่อแทน x ดว้ ย -2 ใน มการ 2x2 – x – 10 = 0 (x + 2)2(x – 5) = 0 จะได้ 2(-2)2 – (-2) – 10 = 0 ดังน้นั x + 2 = 0 รือ 2x – 5 = 0 0 = 0 ซง่ึ เป็น มการท่ีเป็นจรงิ จะได้ x = -2 รือ x= 5 เมื่อแทน x ด–้ว(ย25)52–ใน10 มการ 2x2 – x – 10 = 0 ตั อย่างท่ี 5
จงแก้ มการ y2 = 61y + 2 ตร จ อบ 6y2 – y – 12 = 0 (2y – 3)(3y + 4) = 0 ดังนั้น 2y – 3 = 0 รอื 3y + 4 = 0 จะได้ y = 3 รือ y =-34 ตั อย่างที่ 6 จงแก้ มการ -0.5z2 + z
– 0.5 = 0 ตร จ อบ ดังนั้น z – 1 = 0 จะได้ z = 1 ดงั นนั้ คำตอบของ มการ คอื 1 แบบฝกึ ัด 3.2 ข 2. จงแก้ มการต่อไปน้ี 1) 3m2 + 2m – 8 = 0 2) 2x2 + 7x – 4 = 0 3) 3r2 – 5r + 2 = 0 4) 4s2 = 10 – 3s 5) 3w2 = 8 – 2 w 6) (t + 12)t = -32 7) 1.4z2 + 3.1z = 1 8) 1 y2 = 7y – 12 10) (2m – 3)2 – (m + 2)2 = 0 ตั อย่างที่ 7 ใ ้ผลคณู ของจำนวนเตม็ จำนวน นึ่งกับจำนวนเต็มท่อี ยู่ติดกนั เท่ากับ 156 จง าจำนวนเต็มทงั้ องน้ัน ธิ ีทำ ใ ้ x แทนจำนวนเตม็ จำนวน นงึ่ ท่ีมากกว่า จะได้ว่า จำนวนเต็มทีน่ อ้ ยกวา่ และอยู่ตดิ กัน คือ x – 1 เนื่องจากผลคณู ของ องจำนวนน้เี ทา่ กบั 156 เขยี น มการได้เป็น x(x – 1) = 156 x2 – x – 156 = 0 (x + 12)(x – 13) = 0 ดังน้นั x + 12 = 0 รือ x – 13 = 0 จะได้ x = -12 รอื x = 13 เนื่องจาก x แทนจำนวนเตม็ ดังนัน้ x จงึ เป็นได้ทง้ั จำนวนเตม็ ลบและจำนวนเตม็ บวก ถ้าจำนวนทม่ี ากกว่า คอื -12 จำนวนเตม็ ทน่ี อ้ ยกว่าและอย่ตู ดิ กนั คอื -13 แบบฝกึ ดั 3.2 ข 4. ใ
้ผลคูณของจำนวนคู่จำนวน นึ่งกับจำนวนคู่อีกจำนวน นึ่งที่อยู่ถัดไปเท่ากับ 840 จง าจำนวนคู่ อง 5. ใ ผ้ ลคูณของจำนวนคี่บวกจำนวน น่ึงกับจำนวนคีบ่ วกอีกจำนวน นงึ่ ที่อยู่ถัดไปเปน็ 675 จง าจำนวนคี่ 6. ใ ้ผลคูณของจำนวนจำนวน นึ่งกับจำนวนทีน่ ้อยกว่า 2 เท่าของจำนวนน้ันอยู่ 1 เท่ากับ 3 จง าจำนวน 7. ถ้าจำนวนจำนวน นึ่งกับอีกจำนวน นึ่งซึ่งน้อยกว่าจำนวนแรกอยู่ 13 คูณกับ แล้วผลคูณเท่ากับ -40 การแก้ มการกำลงั องตั
แปรเดยี โดยการใช้ ตู ร ที่ a ≠ 0 นั้น บางคร้งั ไม่ ามารถแยกตัวประกอบของพ นุ าม ax2 + bx + c ไดโ้ ดยง่าย ในกรณเี ช่นน้ี เรา แบบฝกึ ดั 3.2 ค 1. จงแก้ มการตอ่ ไปน้ี โดยใช้ความรู้เรือ่ งกำลัง อง มบูรณ์และผลตา่ งของกำลัง อง 1. x2 + 26x + 165 = 0 2. y2 – 98y + 2,376 = 0 3. z2 + 756 = 60z 4. 400 + 50x = x2 5. 4y2 – 3 = 8y + 9 6. 9z2 + 6z – 8 = 0 2. จงแก้ มการกำลงั องตวั แปรเดียวตอ่ ไปน้ี โดยการใช้ ูตร 1. x2 – 12x + 11 = 0 2. z2 + 4z + 1 = 0 3. 2x2 = 3x + 14 4. 14y = 1 + 49y2 5. (2z+ 21) z = z 6. 2x2 – 8x + 3 = 0 7. 4y2 – 4y – 35 = 0 8. 21z2 + 9z + 100 = 0 9. 21(2x – 5)2 = 2(10 – x) 10. 2y + (y – 2)2 = 1 โจทยป์ ญั าเกีย่ กบั มการกำลงั องตั แปรเดยี แบบฝึก ัด 3.3 จง าความยาวของด้านแตล่ ะด้านของรปู เ่ี ลยี่ มมมุ ฉากนี้ 2. ∆RST มพี ืน้ ที่ 52 ตารางเซนตเิ มตร มีความ ูงนอ้ ยกว่า องเท่าของความยาวของฐาน ST อยู่ 3 เซนตเิ มตร 3. กำ นดรปู ามเ ลยี่ ม ABC ทีม่ ี AB̂C เปน็ มุมฉาก A̅B ยาวกว่า B̅C อยู่ 7 เซนตเิ มตร และ A̅C ยาวกว่า A̅B 4. รปู เี่ ลี่ยมจัตรุ ั ABCD และรปู เ่ี ลีย่ มมุมฉาก PQRS มพี ืน้ ทเี่ ทา่ กันและมีขนาด ดังรูป จง าขนาดของ 5. ถังนำ้ ทรง เ่ี ล่ียมมุมฉากใบ นึง่ มพี ื้นท่ีก้นถังเป็น 120 ตารางนวิ้ ความยาวรอบปากถังภายในยาว 46 น้ิว 6. กรอบรูปไม้ ัก ำ รับใ ่รูปขนาด 24 × 30 ตารางนิ้ว มีพื้นที่โดยรอบของ ่วนที่เป็นไม้ ักด้าน น้าของ 7. พรกิ อมตอ้ งการ ร้างกรงกระต่ายใ ้มเี น้ือที่ 55 ตารางเมตร ติดกนั ร้ัวบา้ น ดงั รูป ถ้าความยาวของด้านท้ัง 8. กำนนั ชายปลูกต้นมะยงชิดเรียงเป็นแถวไว้ใน วน 2,000 ต้น โดยทีแ่ ต่ละแถวมีจำนวนต้นมะยงชิดเท่ากัน เอกสารประกอบการเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ภาคเรียนที่ 1 ปกี ารศึกษา 2564 เร่อื ง สอนโดย ชน้ั ม.3/ เลขที่ กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ 1. รูปเราขาคณิตท่ีคลา้ ยกนั เมือ่ พิจารณารปู รา่ งของส่งิ ต่าง ๆ รอบตวั เรา ก็จะพบวา่ มสี ิง่ ของเคร่อื งใชต้ ่าง ๆ หลายอยา่ งท่มี รี ปู
ร่าง ให้นกั เรียนพิจารณารูปเรขาคณิตสองมติ ติ อ่ ไปน้ี จะเหน็ ว่า รปู ก และรปู ง เป็นรูปที่คล้ายกัน เพราะมรี ปู ร่างเหมอื นกัน แตม่ ขี นาดแตกต่างกัน นนั่ คอื รปู เรขาคณิตสองรปู เปน็ รปู ท่คี ลา้ ยกนั เมอื่ รูปเรขาคณติ
ทั้งสองนัน้ มีรปู ร่างเหมอื นกัน รูป เม่อื รปู เรขาคณติ A และรูปเรขาคณติ B เป็นรูปท่ีคล้ายกัน จะเขยี นว่า รูปเรขาคณิต A ~ รูป สมบตั ขิ องความคล้าย 1. สมบตั ิสะทอ้ น : รปู เรขาคณติ A ~ รูปเรขาคณติ A แล้วรูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต C บทนิยาม รปู หลายเหลีย่ มสองรปู คลา้ ยกนั กต็ อ่ เม่ือ รปู หลายเหลยี่ มสองรูปนั้นมี เม่อื กล่าวถึงรูปหลายเหลยี่ มสองรูปที่คล้ายกัน เราจะเขยี นจุดยอดท่ีสมนัยกันให้อยู่ในลำดับเดียวกัน เราจะเขยี นว่า รปู ABCDE ~ รปู PQRST
ซ่ึงหมายถงึ Â=P̂, B̂=Q̂, Ĉ=R̂, D̂=Ŝ และ Ê=T̂ 2. อตั ราสว่ นของความยาวของด้านคทู่ ่ีสมนัยกันทกุ ค่เู ป็นอัตราสว่ นท่เี ท่ากนั คือ AB = BC = CD = DE = EA การเขียนวา่ รูป ABCDE ~ รปู PQRST เป็นการแสดงการจบั ครู่ ะหว่างมุมและดา้ นคู่ทสี่ มนัยกนั ดงั น้ี Â สมนยั กับ P̂, B̂ สมนยั กบั Q̂, Ĉ สมนยั กบั R̂, D̂ สมนัยกบั Ŝ และ Ê สมนยั กับ T̂ A̅B สมนัยกบั P̅Q, B̅C สมนยั กบั
Q̅R, C̅D สมนยั กบั R̅S, D̅E สมนยั กบั S̅T และ E̅Aสมนัยกนั T̅P ตัวอย่างที่ 1 จากรูป จงแสดงว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน DUCK และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน FISH เป็นรูป ดังนน้ั สามารถจบั คู่จุดยอดทที่ ำให้ได้ 1. มุมคทู่ ่ีสมนยั กนั มขี นาดเท่ากนั เป็นคู่ ๆ ทุกคู่ คือ D̂=F̂, Û=I,̂ Ĉ=Ŝ และ K̂=Ĥ 2. อตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ี่สมนยั กันทกุ คู่สมนยั กันทุกคเู่ ป็นอัตราสว่ นท่เี ทา่ กนั คือ DU = CK = 6 = 2 , UC = KD = 4 = 2 หรือ DU = UC = CK = KD น้ันคอื DUCK ~ FISH ตวั อย่างท่ี 3 จากรปู กำหนดใหร้ ูปส่ีเหลีย่ ม ABCD คล้ายกบั รปู สี่เหลี่ยม KLMN จงหา แบบฝกึ หัด 1 1. 2. 2. รปู สามเหลยี่ มดา้ นเท่าสองรปู ใด ๆ เป็นรปู ที่คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตใุ ด 3. รูปสามเหลี่ยมหนา้ จั่วสองรปู ใด ๆ เป็นรูปที่คล้ายกนั หรือไม่ เพราะเหตุใด 11. จากรูป กำหนดให้ COLD ~ WARM จงหา 1) ขนาดของ Ĉ และ Â ดา้ น MW สเ่ี หล่ยี มทงั้ สองรูป 12. จากรปู รปู สี่เหล่ยี มคางหมทู ุกรูปเป็นรูปท่ีคล้ายกัน จงหา 2. รูปสามเหล่ยี มที่คลา้ ยกัน สิ่งก่อสร้างหลายอย่างรอบ ๆ ตัวเรามีส่วนประกอบที่มีลักษณะเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน เช่น บทนยิ าม รปู สามเหลย่ี มสองรูปคล้ายกัน กต็ อ่ เม่ือ รปู สามเหลย่ี มสองรูปน้ัน มีขนาดของมุมเทา่ กันเปน็ คู่ ๆ สามคู่ ตวั อยา่ งท่ี 1 จากรูป จงหาคา่ ท่ี x และ y ตวั อยา่ งที่ 2 จากรูป จงหาคา่ x และ y แบบฝกึ หัด 2 ก 1) 3) 4) 5) 6) 2. จากรูป จงหาคา่ x และ y |
ใบงานคณิตศาสตร์ ม.3 หลักสูตรใหม่
กระทู้ที่เกี่ยวข้อง
ลิขสิทธิ์ © 2024 moicapnhap Inc.
