ข้อสอบการแปลงทางเรขาคณิต ม.2 Download file pdf Embed in my website or blog Add to Google Classroom Add to Microsoft Teams Share through Whatsapp Link to this worksheet: Copy Rotsukhon7579 What do you want to do? Enter your full name: Group/level: School subject: Enter your teacher's email or key code: CancelPlease allow access to the microphone Close ข้อสอบคณิตศาสตร์ (PISA) from Napadon Yingyongsakul ����� ����ͺ�ѹ �����¤���ҡ��¤�Ѻ ���ҧ���س ��Ź�� ��ҵ��⨷�������� $\left|\,\right. a\left|\,\right. \not= \left|\,\right. b\left|\,\right. \not= \left|\,\right. c\left|\,\right.$ $a,b,c \in \mathbb{Z}$ �дա��Ҥ�Ѻ :great: ����� ����ͺ�ѹ �����¤���ҡ��¤�Ѻ ���ҧ���س ��Ź�� ��ҵ��⨷�������� $\left|\,\right. a\left|\,\right. \not= \left|\,\right. b\left|\,\right. \not= \left|\,\right. c\left|\,\right.$ $a,b,c \in \mathbb{Z}$ �дա��Ҥ�Ѻ :great: �ͺ�س ����ʹ������ ����� ������ �س ��Ź ���Է����駢�͵���价ӡѹ��з�� #4 (�ͤԴỻ�֧��:p) �����駢�͵����������Ѻ ��鹨Ѵ���� ��������� �.� ��駤�Ѻ ���� ����������ҧ���� :happy: ***��������������ABCD ��P�繨ش��ҧ����������� ���PA=29,PB=25,PC=17 ���Ҿ�鹷������Ҥ�����ǢͧPD �����ç��������ó����� *** �������Ѻ��� ���36 ���ҧ28 ����Ըջ�ж���ǧ���¹���ҧ������������ǧ���¹��ǵ��PA,PB,PC����ش�Ѵ�ش˹�觤��..... ����� ����ͺ�ѹ �����¤���ҡ��¤�Ѻ ���ҧ���س ��Ź�� ��ҵ��⨷�������� $\left|\,\right. a\left|\,\right. \not= \left|\,\right. b\left|\,\right. \not= \left|\,\right. c\left|\,\right.$ $a,b,c \in \mathbb{Z}$ �дա��Ҥ�Ѻ :great: ��ҧ�鹼����ԸդԴ�����¤�Ѻ �������Ѻ��� ���36 ���ҧ28 ����Ըջ�ж���ǧ���¹���ҧ������������ǧ���¹��ǵ��PA,PB,PC����ش�Ѵ�ش˹�觤��..... ��ҧ�鹼����ԸդԴ�����¤�Ѻ Absolutely :):) From $\frac{1}{a}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^2+a}$ $\frac{1}{2553}=\frac{1}{2554}+\frac{1}{2553^2+2553}$ $\frac{1}{2553}=\frac{1}{2553^2+2553}+\frac{1}{2555}+\frac{1}{2554^2+2554}$ ����á ���Ҥ�Ңͧ a+b+c �ҡ (a,b,c �դ�������ҡѹ����繨ӹǹ����ǡ ) ����Ҥ�èж����Ҩ��Ҥ�ҹ����ش�ͧ a+b+c �ҡ����� ��Ҩ���ҷ�ҡ��Ҥ�Ѻ �����駢�͵����������Ѻ ��鹨Ѵ���� How to solve it ? :please: �����Ը���¢ͧ�س��Banker������ �����駢�͵����������Ѻ ��鹨Ѵ���� �͵ͺ���������� $������Ǣͧ PD=\sqrt{505}$ �͵ͺ���������� $������Ǣͧ PD=\sqrt{505}$ ��Һ�����ҧ�ä�Ѻ �͵ͺ���������� $������Ǣͧ PD=\sqrt{505}$ ���������ѹ�Դ ���Т����������Ф�Ѻ �����ʴ��ԸդԴ˹��¤�Ѻ :sweat::please: ***��������������ABCD ��P�繨ش��ҧ����������� ���PA=29,PB=25,PC=17 ���Ҿ�鹷������Ҥ�����ǢͧPD �����ç��������ó����� *** ��Һ�����ҧ�ä�Ѻ ���������ѹ�Դ ���Т����������Ф�Ѻ �����ʴ��ԸդԴ˹��¤�Ѻ :sweat::please: ����ٻ��Ѻ �س Banker ��駢�͵�����¤�Ѻ :p ��ѧ�ҡ���⨷��㹹��仵����ҹ �ѧ�ֹ������ź��Ѻ ����Է����õ��⨷���Ѻ ������ҵͺ ��к͡���⨷�����Т���繫����ҧ��������硻�ж�����˹���ҵͺ ���������觡Ѻ�硤��ѡ��Ե������ :great::D:laugh: ��м��Ӵ����� �������� �� ����Ҿ�鹷�� ��ҹ�鹤�Ѻ :p �Ͷ������ �ӵͺ �ѹ�Դ�ٴ ������ (���ǼԴ ����) �Ͷ������ �ӵͺ �ѹ�Դ�ٴ ������ (���ǼԴ ����) ���Դ��Ѻ :):) #24 ��������Դ�֧�Ф�Ѻ �ҡ⨷����Ҩ������ ������Ǵ�ҹ�ͧ��������������繤��觹֧�ͧ�����������˭� #24 :) �١��Ѻ �ԭ��駢�͵�����¤�Ѻ :great::great: �;ѡ����⨷�������� ��ҧ�Ф�Ѻ ����֡���⨷�����Т�ͨ��Թ �.���� �˹��� ��¤�˹�觡������� ��м��Ӵ����� �������� �� ����Ҿ�鹷�� ��ҹ�鹤�Ѻ :p ����ͧ����������������Թ ��ж����� ��⨷���ͷ���������ٵ����ҧ˹��¤�Ѻ:please::please: �;ѡ����⨷�������� ��ҧ�Ф�Ѻ ����֡���⨷�����Т�ͨ��Թ �.���� �˹��� ��¤�˹�觡������� �ͺ 3 ��Ѻ ᴧ 1, �� 1 , �ͧ 1 ��Ҷ١��͵�駵�͵����� ��Ҷ١��͵�駵�͵����� �Ըҡ���ʺ͡ AC = 10 ����������ADE ����� ABC DE �繤���˹�觢ͧ BC �ѧ��� D �觤��� AB ��� E �觤��� AC AD = DB = 4, AE = EC = 5 ����Է�����⨷�� �ͺ 3 ��Ѻ ᴧ 1, �� 1 , �ͧ 1 ��Ҷ١��͵�駵�͵����� �س���ѡ��Ե��������ʴ��ԸդԴ���¹Ф�Ѻ:tired: �����������Ѻ:) ���������� abcd ������������ �ѵ���� Af=fc ��鹷��ͧ ���������� BFE = 12 �� ˹��� ��鹷��ͧ ���������� abcd ��ҡѺ����� �.�. ����ѡ�â�ҧ��ҧ �����ҧ c ,d ��� E �Ф�Ѻ :)��鹼�����ͧ�� http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2788&d=1268911514 Ẻ��� ����Ẻ��ж��������Ѻ 2790 �����������Ѻ:) ���������� abcd ������������ �ѵ���� Af=fd ��鹷��ͧ ���������� BFE = 12 �� ˹��� ��鹷��ͧ ���������� abcd ��ҡѺ����� �.�. ����ѡ�â�ҧ��ҧ �����ҧ c ,d ��� E �Ф�Ѻ ������ѹ⨷��ç��ᴧ˹��¤�Ѻ AF = FD ���� AF=FC �;ѡ����⨷�������� ��ҧ�Ф�Ѻ ����֡���⨷�����Т�ͨ��Թ �.���� �˹��� ��¤�˹�觡������� �س���ѡ��Ե��������ʴ��ԸդԴ���¹Ф�Ѻ:tired: ��ᴧ + ���� + ���ͧ = �ص÷����� ---- 1 2 + 3 + 4 : �����駢�͵����������Ѻ ��鹨Ѵ���� ������ѹ⨷��ç��ᴧ˹��¤�Ѻ AF = FD ���� AF=FC fc ��Ѻ ��Ҿ����Դ��Ѻ �����·����ѧ��Ѻ Ẻ��� ����Ẻ��ж��������Ѻ 2790 �ش�ʹ������ ���¤�Ѻ �س BANKER �д�չ��Թ���觾��ҹ��¤�Ѻ:died: ��ᴧ + ���� + ���ͧ = �ص÷����� ---- 1 2 + 3 + 4 : �ʴ���Һص÷������� �繺صä�������������Ѻ�س�Ե�� (����ǹ��ѧ�������) :haha: ��ᴧ + ���� + ���ͧ = �ص÷����� ---- 1 2 + 3 + 4 : �ʴ���Һص÷������� �繺صä�������������Ѻ�س�Ե�� (����ǹ��ѧ�������) :haha: ��ԧ���¤�Ѻ....�Ըա���ͧ⨷��ͧ�س��Banker....��Ң������ҳ�����Ҿ ���ط��֧�͡��������㨻��ö�� ��ԧ���¤�Ѻ....�Ըա���ͧ⨷��ͧ�س��Banker....��Ң������ҳ�����Ҿ ���ط��֧�͡��������㨻��ö�� �س��Banker ���ҡ��ԧ���Ѻ:):please: ���е�������¤�Ѻ ���Ҫ��ҡ �������������� :haha: �����������Ѻ:) ���������� abcd ������������ �ѵ���� Af=fc ��鹷��ͧ ���������� BFE = 12 �� ˹��� ��鹷��ͧ ���������� abcd ��ҡѺ����� �.�. ����ѡ�â�ҧ��ҧ �����ҧ c ,d ��� E �Ф�Ѻ 2791 ����ٻ��Ѻ $♫ = (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 = \frac{1}{4}♫ + \frac{1}{2}\cdot \frac{x(x+y)}{2} + \frac{1}{2}\cdot {y(x+y)}+ 12$ $4♫ = ♫ + (x^2+xy)+(2y^2 + 2xy) + 48$ $4♫ = ♫ + (x^2+2xy+y^2) +(y^2 + xy) + 48$ $4♫ = ♫ + ♫ +(y^2 + xy) + 48$ $2♫ = (y^2 + xy) + 48$ $♫ = 2(����������BED) + 24$ ���Ǩ���ѧ䧵������ 仵����ҹ�� ����Ǣ�����令Դ�Ը���蹵�� :haha: ��ѧ�ҡ仹�觴����� �����⨷����� ��ҨТҴ�����źҧ���ҧ ���ж����������ش E 价ҧ D ��Ҩ�������������ABCD = 24 ���ҧ˹��µ���ٻ 2792 ��Ҩ��ա�˹�����������ա �Ҵ��ա�� ������� E 价Ѻ C �������������� ABCD �վ�鹷�� 48 ���ҧ˹��� ��Ң��������� ����ػ����� $24\leqslant ♫ ABCD \leqslant 48$ ����ͧ����������������Թ ��ж����� ��⨷���ͷ���������ٵ����ҧ˹��¤�Ѻ:please::please: ��ѧ�ҡ仹�觴����� �����⨷����� ��ҨТҴ�����źҧ���ҧ ���ж����������ش E 价ҧ D ��Ҩ�������������ABCD = 24 ���ҧ˹��µ���ٻ 2792 ��Ҩ��ա�˹�����������ա ����ҡ��� FD ����ҡѺ BF �.�. �����������Ѻ �ѹ��º ���Ҥ�� n ����� n �繨ӹǹ����ǡ������� $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=8$ http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2793 ������������ա�Դ ���ͪ���������㨡�������������¢�� ����觤������ ��� ��鹵ç����ҡ��ҹ�ش�ʹ ���������͡�繤���˹�� ����觤�������������еѴ�ѹ���ش���� ��� �ش�ٹ���ҧ�ͧǧ���Ṻ㹢ͧ�ٻ���������� ����Ѹ°ҹ�ͧ�ٻ���������� ��� ��鹵ç����ҡ��ҹ�ش�ʹ��Шش��觡�ҧ�ͧ��ҹ�ç���� ��觨����ٻ�����������͡�繾�鹷������ҡѹ ����Ѹ°ҹ�������еѴ�ѹ���ش���� ��� ૹ���´� (centroid) �ͧ�ٻ���������� �ش�������ٹ���ǧ (center of gravity) �ͧ�ٻ�������������� ૹ���´��������Ѹ°ҹ�����ѵ����ǹ 2:1 ��蹤�����зҧ�����ҧ�ش�ʹ�Ѻૹ���´� �����ͧ��Ңͧ���зҧ�����ҧૹ���´�Ѻ�ش��觡�ҧ�ͧ��ҹ�ç���� ����ҡ��� FD ����ҡѺ BF �.�. �����������Ѻ F �繨ش�����ҧ AB FD = FB �������Ǥ�Ѻ ���� �֧����ͧ��˹� ���ѹ��п��ͧ��Ѻ ���⨷������� ��Ѻ �ѹ��º ���Ҥ�� n ����� n �繨ӹǹ����ǡ������� $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=8$ $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=8$ $ = (\frac{1}{1+\sqrt{2}} \times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} ) +(\frac{1}{\sqrt{4} +\sqrt{5} } \times \frac{\sqrt{4} -\sqrt{5} }{\sqrt{4} -\sqrt{5} }) +... + (\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}) \times \frac{\sqrt{n} -\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}} =8$ $= -(1-\sqrt{2} )-(\sqrt{2} -\sqrt{3} )-(\sqrt{3} -\sqrt{4} )- .... - (\sqrt{n} -\sqrt{n+1} ) = 8 $ $\sqrt{n+1} -1 =8 $ $n+1 = 81$ $n=80$ ����Է�����⨷���Ѻ ���ѹ��п��ͧ��Ѻ ���⨷������� ��Ѻ 2794 ABCD = 32 ���ҧ˹��� 2793 ��鹡�ж��������¡��ͧ �ç�˹��ҧ�������Թ��ѡ�ٵû�ж������Ф�Ѻ ��������鹷������������ �� �� r �ҡ�ٵ÷����������ҧ���ͧԺ�´٫Ԥ�Ѻ ����Ժ��Ẻ ʷ�. ���Ժ������ͧ ���絹� ����鹨ж١�ѹ��ɰҹ������Ҩҡ������ǡѹ�Ф�Ѻ ����Ǩ���������͡:p:D:laugh: ������⨷�������ռ�������¤ӵͺ���Ը���ع�ٻ����������Ըշ����� ��Ф����ѡ�зӡѹ ����ͧ���������Թ��ѡ�ٵû�ж����·�����Ժ����������� 3 �ͧ�����������ٻ��硷�������ǧ����繵��˹����ǡѹ�Ѻ�����������ٻ�˭���������ǧ��� �ҡ�繢�ͤԴ 1. ��á��§�����������⨷�����駵�ͧ�� ��. �ոҡ���� ��е���ҡ���⨷������� ����ͧ�����ǵ�ͧ���������Թ �.���� ��觶�������ҧ��鹨��� ��з��ͧ �.���������� ��仵������� ��з�� �.�鹡��� �ա���ҧ���������Ե�������������֡���� ����⨷�����ҧ��� ����ѭ˹մս�� ਵ��������ͧ��÷��������騹 ���§����ҡ�������º�ä����ҧ ������ѹ��������µ�ҷ��ѹ��觤�ҧ�����ѹ���� :D 2. ��������⨷����˹����ҷ��������ж� ���������¤������⨷��������������ж�㹡�÷� ���蹹�鹤�������������ж���⨷����鹨С����繤���㹷ѹ�� ������繢ͧ�س��Թ��ҧ�繻���繷���Ң��Դ��Ѻ....�ѹ���Դ����١��¨�⨷��价ӡ�����֡��Һ���ҷ������ ���������Թ������¹ �����ҧ�������ǡѹ ��鹵ç y=2x+1 �Ѻ��鹵ç y=x �Ѵ�ѹ���ش� �����ҧ�������ǡѹ ��鹵ç y=2x+1 �Ѻ��鹵ç y=x �Ѵ�ѹ���ش� ���ش (x,y) = (-1,-1) :p ����ͧ�Ţ¡���ѧ��Ѻ �ͧ�٤�Ѻ (�������ҡ �����ͧ�͡����¹Դ���Ǥ�Ѻ) 2798 ����ͧ�Ţ¡���ѧ��Ѻ �ͧ�٤�Ѻ (�������ҡ �����ͧ�͡����¹Դ���Ǥ�Ѻ) http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2798 $(1-a^{\frac{1}{32}})(1+a^{\frac{1}{32}})$ = $1-a^{\frac{1}{16}}$ �����ҧ����������� ����ӵͺ $1-a^2$ ����Է�����⨷�� ʵ�͡⨷������������ :sweat: �ա��ͧ�Թ��� 2 ��Դ ��Դa�٧���ͧ�� 1 ��. ��Ъ�Դ b�٧���ͧ�� 2 ��. ���Ҩӹǹ�Ը�㹡������ͧ����ͧ��Դ���ѹ����٧ 10��. ʵ�͡⨷������������ :sweat: �ա��ͧ�Թ��� 2 ��Դ ��Դa�٧���ͧ�� 1 ��. ��Ъ�Դ b�٧���ͧ�� 2 ��. ���Ҩӹǹ�Ը�㹡������ͧ����ͧ��Դ���ѹ����٧ 10��. 4�����Ҥ�Ѻ ����ͧ�Ţ¡���ѧ��Ѻ �ͧ�٤�Ѻ (�������ҡ �����ͧ�͡����¹Դ���Ǥ�Ѻ) http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2798&d=1269053101 ���ԸաԹ�������� Ẻ�����ҡ�� :D $(1-a^{\frac{1}{32}})(1+a^{\frac{1}{32}})......$ $(1-a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{16}})......$ $(1-a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{8}})......$ $(1-a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{4}})......$ $(1-a^{\frac{1}{2}})(1+a^{\frac{1}{2}})......$ $(1-a)(1+a)$ $1-a^2$ ��⨷��仵����ҹ�ա���� :haha: ���ԸաԹ�������� Ẻ�����ҡ�� :D $(1-a^{\frac{1}{32}})(1+a^{\frac{1}{32}})......$ $(1-a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{16}})......$ $(1-a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{8}})......$ $(1-a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{4}})......$ $(1-a^{\frac{1}{2}})(1+a^{\frac{1}{2}})......$ $(1-a)(1+a)$ $1-a^2$ ��⨷��仵����ҹ�ա���� :haha: ���ɷ��ú�ǹ��Ѻ ���ͧ����͡��ԧ���Ѻ:please: ʵ�͡⨷������������ :sweat: �ա��ͧ�Թ��� 2 ��Դ ��Դa�٧���ͧ�� 1 ��. ��Ъ�Դ b�٧���ͧ�� 2 ��. ���Ҩӹǹ�Ը�㹡������ͧ����ͧ��Դ���ѹ����٧ 10��. ����ҳ��� a a b a a a a a a a a b a a b a a b a a a a a a a a b a a a a a a b ʵ�͡⨷������������ :sweat: �ա��ͧ�Թ��� 2 ��Դ ��Դa�٧���ͧ�� 1 ��. ��Ъ�Դ b�٧���ͧ�� 2 ��. ���Ҩӹǹ�Ը�㹡������ͧ����ͧ��Դ���ѹ����٧ 10��. ⨷�����Ҩ������§⨷���鹺ѹ�10��� �¢�鹷��� 1��鹡Ѻ���� 2��� ���� 1��� 1111111111 �� 1 �Ը� ���� 111111112 �� 9 �Ը� ���� 11111122 �� 7+6+5+4+3+2+1 = 28 �Ը� ���� 1111222 �� 6+5+4+3+2+1 = 21 �Ը� ���� 112222 �� 5+4+3+2+1 = 15 ���� 22222 �� 1 �Ը� ��� 1+9+28+21+15+1 = 75 �Ը� �١������� ... ⨷���ǹ����趹Ѵ�д��� A ��¢ͧ���˹����� B ����� 20% ����� A �Դ���´�� �֧�ͫ��͡�Ѻ �� B �Դ���� 20% �����ѧ A �ӡ�Ѻ仢����� B �ա������Ҥ� 5760 �ҷ ��觢Ҵ�ع 20% �ͧ�Ҥҷ������Ҩҡ B ��ҡ��Һ��ҡ�â�·���ͧ���駢ͧ A ��������͢Ҵ�ع���ҷ �����س�ا�������ҹ�ա���˹�觤�Ѻ �����ҹ��ʹ㨴դ�Ѻ :) 2800 ���ɷ��ú�ǹ��Ѻ ���ͧ����͡��ԧ���Ѻ:please: $(1-a^{\frac{1}{32}})(1+a^{\frac{1}{32}})$ $(1+a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$ $(1^2 -a^{\frac{1}{32}+\frac{1}{32}})$$(1+a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$ $(1-a^{\frac{1}{16}})$ $(1+a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$ $(1-a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{16}})$ $(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$ $(1^2 -a^{\frac{1}{16}+\frac{1}{16}})$ $(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$ $(1-a^{\frac{1}{8}})$ $(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$ �ӵ���������������Ѻ A ��¢ͧ���˹����� B ����� 20% ����� A �Դ���´�� �֧�ͫ��͡�Ѻ �� B �Դ���� 20% �����ѧ A �ӡ�Ѻ仢����� B �ա������Ҥ� 5760 �ҷ ��觢Ҵ�ع 20% �ͧ�Ҥҷ������Ҩҡ B ��ҡ��Һ��ҡ�â�·���ͧ���駢ͧ A ��������͢Ҵ�ع���ҷ ���ѧ�Դ��ҨзӨҡ˹�����ѧ ���ͨҡ��ѧ����˹�Ҵ� Ẻ�˹���㨧��¡��ҡѹ ���Ẻ����Ѻ�����ǡѹ �յ���Ţ�Թ�ҷ���� ��Ҩ���繧��¡��� �����ѧ A �ӡ�Ѻ仢����� B �ա������Ҥ� 5760 �ҷ ��觢Ҵ�ع 20% �ͧ�Ҥҷ������Ҩҡ B ��ŧ��ҷع�ҡ��â�¤��駹���� $\frac{100}{80} \times 5760 = 7200 $ �ҷ $7200$ �ҷ ���Ҥҷ����ͨҡ B ��� B �Դ���� 20% �ѧ��鹷ع�ͧ B ��� $\frac{100}{120} \times 7200 = 6000 $ �ҷ $6000$ �ҷ ����Ҥҷ�� B ���ͨҡ A 㹵�á ���㹤��駹�� A �Դ���� 20 % �ѧ��鹷ع�ͧ A ��� $\frac{100}{120} \times 6000 = 5000 $ �ҷ ��ػ A ������ 5000 �ҷ �ش�������Թ�� 5760 �ҷ �֧�ѧ���� 760 �ҷ <--��÷Ѵ�����ػ�Դ ���١��� ������ѧ������ 7200 ��� 5760 �Ҵ�ع 1440 ����ͧ���駨֧�Ҵ�ع 400 �ҷ (�ͺ�س�سJSompis�����·ѡ��ǧ) �����س�ا�������ҹ�ա���˹�觤�Ѻ �����ҹ��ʹ㨴դ�Ѻ :) http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2800&d=1269072579 ⨷��Ẻ����ѧ�������ҵ����ҹ��Ѻ ⨷����е����ҹ��������һ�ж� �����յ�����ͧ�Ҷ֧�Ѹ�� ����Ѻ���� �ͺ 1 ���������Ըշ������ $\left(a^{\frac{x+y}{y-z}}\right)^{\frac{1}{z-x}} \times \left(a^{\frac{y+z}{z-x}}\right)^{\frac{1}{x-y}} \times \left(a^{\frac{z+x}{x-y}}\right)^{\frac{1}{y-z}}$ $= a^{\frac{x+y}{y-z}\cdot \frac{1}{z-x} + \frac{y+z}{z-x}\cdot \frac{1}{x-y} + \frac{z+x}{x-y}\cdot \frac{1}{y-z}}$ $= a^{\frac{(x+y)(x-y)+(y+z)(y-z) + (z+x)(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}}$ $= a^{\frac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{(x-y)(y-z)(z-x)}}$ $= a^0$ $=1$ ⨷��Ẻ����ѧ�������ҵ����ҹ��Ѻ ⨷����е����ҹ��������һ�ж� �����յ�����ͧ�Ҷ֧�Ѹ�� ����Ѻ���� �ͺ 1 ���������Ըշ������ �����繢���ͺ��� �1. �ç���¹��鹹����˹�觤�Ѻ �����ҡ�Թ� �Ѵ����ͷ����µ������Ѻ ���� �.�.�. �ͧ 0.2 , 0.3 ��� 0.5 ? :) ���� �.�.�. �ͧ 0.2 , 0.3 ��� 0.5 ? �ù . �ͧ$1/5,3/10,1/2$ >> 3 �����繢���ͺ��� �1. �ç���¹��鹹����˹�觤�Ѻ �����ҡ�Թ� �Ѵ����ͷ����µ������Ѻ ���� �.�.�. �ͧ 0.2 , 0.3 ��� 0.5 ? :) Ẻ�������·Ӥ�Ѻ ����ء������Ẻ����·� ���� �.�.�. �ͧ $\frac{2}{10}, \frac{3}{10}, $ ��� $ \frac{5}{10}$ �.�.� �ͧ��� ��� 30 �ѧ��� �.�.�. �ͧ $\frac{2}{10}, \frac{3}{10}, $ ��� $ \frac{5}{10}$ ��� 3 ���ͧ�ͺ���� �ͺ���� �.�.�. �ͧ 0.2 , 0.3 ��� 0.5 ��� 3 ������١�������� ����Ẻ�ȹ���������� �.�.� �ѹ�ѧ䧤�Ѻ Ẻ�������·Ӥ�Ѻ ����ء������Ẻ����·� ���� �.�.�. �ͧ $\frac{2}{10}, \frac{3}{10}, $ ��� $ \frac{5}{10}$ �.�.� �ͧ��� ��� 30 �ѧ��� �.�.�. �ͧ $\frac{2}{10}, \frac{3}{10}, $ ��� $ \frac{5}{10}$ ��� 3 ���ͧ�ͺ���� �ͺ���� �.�.�. �ͧ 0.2 , 0.3 ��� 0.5 ��� 3 ������١�������� ����Ẻ�ȹ���������� �.�.� �ѹ�ѧ䧤�Ѻ ����� ���������ǹ�� ��������¤�Ѻ :):) ��駵����� ��Ѻ ����ҡ�� part �â��Ф�Ѻ Ẻ�������·Ӥ�Ѻ ����ء������Ẻ����·� ���� �.�.�. �ͧ $\frac{2}{10}, \frac{3}{10}, $ ��� $ \frac{5}{10}$ �.�.� �ͧ��� ��� 30 �ѧ��� �.�.�. �ͧ $\frac{2}{10}, \frac{3}{10}, $ ��� $ \frac{5}{10}$ ��� 3 ���ͧ�ͺ���� �ͺ���� �.�.�. �ͧ 0.2 , 0.3 ��� 0.5 ��� 3 ������١�������� ����Ẻ�ȹ���������� �.�.� �ѹ�ѧ䧤�Ѻ �س�ا Banker ��Ѻ Ẻ���س�ا�ӡѺẺ�ռ��ӡ������ѹ����Ф�Ѻ ��Ф�ҷ��⨷���˹���� 0.2 = 2/10 , 0.3 = 3/10 ��� 5/10 ����ͧ��Ф�Ѻ ��ж�Ҿ�⨷���ѡɳй�� �����ٵù������Ѻ ............�.�.�. �ͧ�����ǹ = (�.�.�. �ͧ���) / ( �.�.�. �ͧ��ǹ) ���� �.�.�. �ͧ 0.2 , 0.3 ��� 0.5 ? �ù . �ͧ$1/5,3/10,1/2$ >> 3 �س���ѡ��Ե��Ѻ �ӵͺ��� 3 ��Ѻ ����ͧ���·���ʴ���� >> ���¶֧���ä�Ѻ ? $(1-a^{\frac{1}{32}})(1+a^{\frac{1}{32}})$ $(1+a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$ $(1^2 -a^{\frac{1}{32}+\frac{1}{32}})$$(1+a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$ $(1-a^{\frac{1}{16}})$ $(1+a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$ $(1-a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{16}})$ $(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$ $(1^2 -a^{\frac{1}{16}+\frac{1}{16}})$ $(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$ $(1-a^{\frac{1}{8}})$ $(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$ �ӵ���������������Ѻ ����.....�����Ǥ�Ѻ$\ll$ �ͺ�س��Ѻ ����.....�����Ǥ�Ѻ �س����ҡ�� �ͧ�֡������ͧ "�ŵ�ҧ���ѧ�ͧ" �������Ф�Ѻ ���Ǩ�������բ�� 1^2 -X^2 = (1-X)(1+X) �ͧ������º��º�Ѻ��͢�ҧ���� �з������������¢�� ��.) ���Ѻ���ǧ��纨ҡ����仢�� ����Ф�� :p �س����ҡ�� �ͧ�֡������ͧ "�ŵ�ҧ���ѧ�ͧ" �������Ф�Ѻ ���Ǩ�������բ�� 1^2 -X^2 = (1-X)(1+X) �ͧ������º��º�Ѻ��͢�ҧ���� �з������������¢�� ��.) ���Ѻ���ǧ��纨ҡ����仢�� ����Ф�� :p ����ѧ��������� ��Ѻ �ٵþ�ع�� ���Ҩ�ռԴ仺�ҧ:laugh: ��ǧ�Ӷ������ɳ� (���ͼ����������� �������Թ˹�ҷ�⨷���͵��令�Ѻ) 2801 ⨷����������� ����١�觷�������ѹ�ء��С�� 2 �١ ������١ A ����բ�Ҵ��硡����١ B ���ǹ��١�觷���ͧ�������Ѻ���·�ʹѧ�ٻ��ҧ�� ������ ����Դ������������ҹ����� (���м�ҹ�ҡ�١��˹����ѧ�ա�١˹�������ҧ�����) ���·���ش���Ǩ�����Ѿ�������ҧ�� �) �١�� A ���բ�Ҵ��ҡѺ�١�� B ��ǧ�Ӷ������ɳ� (���ͼ����������� �������Թ˹�ҷ�⨷���͵��令�Ѻ) 2801 ⨷����������� ����١�觷�������ѹ�ء��С�� 2 �١ ������١ A ����բ�Ҵ��硡����١ B ���ǹ��١�觷���ͧ�������Ѻ���·�ʹѧ�ٻ��ҧ�� ������ ����Դ������������ҹ����� (���м�ҹ�ҡ�١��˹����ѧ�ա�١˹�������ҧ�����) ���·���ش���Ǩ�����Ѿ�������ҧ�� �) �١�� A ���բ�Ҵ��ҡѺ�١�� B �������ë���������������ҹ����� ... ��ҵç仵ç�� �ѹ����������дѺ��ӷ�����дѺ��ҡѹ �ѧ��� ����ͧ�١���Ҩ���ҡѹ �١�� A ���բ�Ҵ��ҡѺ�١�� B �������ë���������������ҹ����� ... ��ҵç仵ç�� �ѹ����������дѺ��ӷ�����дѺ��ҡѹ �ѧ��� ����ͧ�١���Ҩ���ҡѹ �١�� A ���բ�Ҵ��ҡѺ�١�� B ���¹ �س�ا Banker ��Ѻ ⨷�����������ͧ�ͧ�Է����ʵ����ǹ� ��Ѻ ��������ë������ ��ѧ��鹤�Ѻ ����ö��价��ͧ���Ѻ ��ͼ���⨷���������� �������������㨢���稨�ԧ�ҧ�Է����ʵ���������ͧ�������Ե ���¤����繨�ԧ ���кҧ��觷���ҤԴ ������ԧ�Ҩ����������ҧ��鹤�Ѻ :) ���ѧ�Դ��ҨзӨҡ˹�����ѧ ���ͨҡ��ѧ����˹�Ҵ� Ẻ�˹���㨧��¡��ҡѹ ���Ẻ����Ѻ�����ǡѹ �յ���Ţ�Թ�ҷ���� ��Ҩ���繧��¡��� �����ѧ A �ӡ�Ѻ仢����� B �ա������Ҥ� 5760 �ҷ ��觢Ҵ�ع 20% �ͧ�Ҥҷ������Ҩҡ B ��ŧ��ҷع�ҡ��â�¤��駹���� $\frac{100}{80} \times 5760 = 7200 $ �ҷ $7200$ �ҷ ���Ҥҷ����ͨҡ B ��� B �Դ���� 20% �ѧ��鹷ع�ͧ B ��� $\frac{100}{120} \times 7200 = 6000 $ �ҷ $6000$ �ҷ ����Ҥҷ�� B ���ͨҡ A 㹵�á ���㹤��駹�� A �Դ���� 20 % �ѧ��鹷ع�ͧ A ��� $\frac{100}{120} \times 6000 = 5000 $ �ҷ ��ػ A ������ 5000 �ҷ �ش�������Թ�� 5760 �ҷ �֧�ѧ���� 760 �ҷ ���������Ҩж١ �Ҥҫ��� �ҤҢ�� ���Щй�鹢Ҵ�ع $12200-11760 = 440$ �������ë���������������ҹ����� ... ��ҵç仵ç�� �ѹ����������дѺ��ӷ�����дѺ��ҡѹ �ѧ��� ����ͧ�١���Ҩ���ҡѹ �١�� A ���բ�Ҵ��ҡѺ�١�� B ���١��Ѻ ��ԧ���� �Ҩ���� Tanat:p:p:p ���١��Ѻ ��ԧ���� �Ҩ���� Tanat:p:p:p ��.�.... �١��ͧ��Ѻ �����Թ��ҧ :p (�ӵͺ�ͧ�س�ا�ѧ���١��Ѻ) ���������Ҩж١ �Ҥҫ��� �ҤҢ�� ���Щй�鹢Ҵ�ع $12200-11760 = 440$ �سJSompis�١���Ǥ�Ѻ �������ٵ鹡Ѻ���� �������鹵��ѡ�Թ��ǧ��ҧ ��ػ��¤����á ���� 1000 �ҷ �֧����Ҵ�ع 440 �ҷ ���Ҽ��Ѿ�� $$\sqrt{1+\dfrac{1}{80^2}+\frac{1}{81^2}}$$ ���Ҽ��Ѿ�� $$\sqrt{1+\dfrac{1}{80^2}+\frac{1}{81^2}}$$ $\sqrt{1+\frac{1}{80^2}+\frac{1}{81^2}}=\sqrt{\frac{80^{2}81^2+81^2+80^2}{80^{2}81^2}}$ $=\sqrt{\frac{80^{2}(80+1)^2+81^2+80^2}{80^{2}81^2}}$ $=\sqrt{\frac{80^{2}(80^2+2(80)+1)+81^2+80^2}{80^{2}81^2}}$ $=\sqrt{\frac{80^4+2(80)(80^2)+80^2+81^2+80^2}{80^{2}81^2}}$ $=\sqrt{\frac{80^4+2(80)(80^2)+2(80^2)+81^2}{80^{2}81^2}}$ $=\sqrt{\frac{80^4+2(80^2)(80+1)+81^2}{80^{2}81^2}}$ $=\sqrt{\frac{80^4+2(80^2)(81)+81^2}{80^{2}81^2}}$ $=\sqrt{\frac{(80^2+81)^2}{80^{2}81^2}}$ $=\frac{80^2+81}{(80)(81)}$ $=\frac{6481}{6480}$ :wacko: ���� A,B,C ����Դ�ӧҹ������ѹ ��Ө�����ѧ����� 6 ������� �������� A,B,C �ӧҹ� 2 ����������ǻԴ��� C �ҡ�������� A,B �ӧҹ���� ��Ө�����ѧ����� 7 ������� �����Ҷ������� C �ӧҹ������� ��Ө�����ѧ����ҡ�������� ⨷�����Ҩ������§⨷���鹺ѹ�10��� �¢�鹷��� 1��鹡Ѻ���� 2��� ���� 1��� 1111111111 �� 1 �Ը� ���� 111111112 �� 9 �Ը� ���� 11111122 �� 7+6+5+4+3+2+1 = 28 �Ը� ���� 1111222 �� 6+5+4+3+2+1 = 21 �Ը� ���� 112222 �� 5+4+3+2+1 = 15 ���� 22222 �� 1 �Ը� ��� 1+9+28+21+15+1 = 75 �Ը� �١������� ... ⨷���ǹ����趹Ѵ�д��� �ѧ���١�Ф�Ѻ ���� A,B,C ����Դ�ӧҹ������ѹ ��Ө�����ѧ����� 6 ������� �������� A,B,C �ӧҹ� 2 ������� ���ǻԴ��� C �ҡ�������� A,B �ӧҹ���� ��Ө�����ѧ����� 7 ������� �����Ҷ������� C �ӧҹ������� ��Ө�����ѧ����ҡ�������� ⨷��������� �Ըշ� $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{6}$ .....(1) �������� A,B,C �ӧҹ� 2 ������� �������ͧҹ $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ���ͧҹ $\frac{2}{3}$ �ͧ�ҹ �Դ��� C �ҡ�������� A,B �ӧҹ���� ��Ө�����ѧ����� 7 ������� 7 ������� A+B ��ҹ $\frac{2}{3}$ 1 ������� A+B ��ҹ $\frac{2}{3\times 7}$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{2}{3\times 7}$ ......(2) (1) - (2) $ \ \ \ \ \ \frac{1}{c} = \frac{1}{6} - \frac{2}{3\times 7} = \frac{1}{14}$ �ͺ �ѧ����� ����Դ��� C ������ǵ����� ���������� 14 ������� ⨷��������� �Ըշ� $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{6}$ .....(1) �������� A,B,C �ӧҹ� 2 ������� �������ͧҹ $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ���ͧҹ $\frac{2}{3}$ �ͧ�ҹ �Դ��� C �ҡ�������� A,B �ӧҹ���� ��Ө�����ѧ����� 7 ������� 7 ������� A+B ��ҹ $\frac{2}{3}$ 1 ������� A+B ��ҹ $\frac{2}{3\times 7}$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{2}{3\times 7}$ ......(2) (1) - (2) $ \ \ \ \ \ \frac{1}{c} = \frac{1}{6} - \frac{2}{3\times 7} = \frac{1}{14}$ �ͺ �ѧ����� ����Դ��� C ������ǵ����� ���������� 14 ������� �����Ǥ�Ѻ�ѧ����� ú�ǹ���⨷���ͧ����˹��¤�Ѻ �ʹը���١����ͧ����͡��Ҩ�������ѧ� ��� 18. ��Ẻ����������� ú�ǹ���⨷���ͧ����˹��¤�Ѻ �ʹը���١����ͧ����͡��Ҩ�������ѧ� ��� 18. ��Ẻ����������� Ẻ����������Ҥ�Ѻ ú�ǹ���⨷���ͧ����˹��¤�Ѻ �ʹը���١����ͧ����͡��Ҩ�������ѧ� ��� 18. ��Ẻ����������� 3.http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=5952 �ͺ�س����ͧ��ҹ��Ѻ ��� ���� �ѹ���ʹ㨴� ������ҵ���Сѹ ���Ҥ�Ңͧ$$\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$$ �ô��͡����� ���Ф�Ѻ ��� ���� �ѹ���ʹ㨴� ������ҵ���Сѹ ���Ҥ�Ңͧ$$\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$$ �ô��͡����� ���Ф�Ѻ ��ҷ��Դ�� �������� �ѧ��� �����աẺ �ѧ��� ����Ըբͧ�س �� �Դ������ͧ�ͺ ��������Ф�Ѻ ���� ����Ըբͧ�س �� �Դ������ͧ�ͺ ��������Ф�Ѻ ���� ��鹤��ͷ�ҹ��蹺�ҧ�����ͧ��ҧ����͡� ��� ���� �ѹ���ʹ㨴� ������ҵ���Сѹ ���Ҥ�Ңͧ$$\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$$ �ô��͡����� ���Ф�Ѻ $\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$ ���Ҥ�Ңͧ ��� ���� �ѹ���ʹ㨴� ������ҵ���Сѹ ���Ҥ�Ңͧ$$\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$$ �ô��͡����� ���Ф�Ѻ ��� $$\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$$ $$\frac{1}{3}\sqrt{(10^{13}-1)(10^{13}+5)+9}$$ ��� $10^{13}-1 = A$ ���Ҥ�Ңͧ �ء� 6 �ӹǹ ���� 166 �ش x 6 = 996 �ӹǹ + 1 �ӹǹ �ѧ��� = \(\overbrace{ (1)+(1)+(1)+....(1)}^{166 �ӹǹ}\) +1 = 166+1 = 167 ��� $$\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$$ $$\frac{1}{3}\sqrt{(10^{13}-1)(10^{13}+5)+9}$$ ��� $10^{13}-1 = A$ �����Ҩеͺ $\frac{10^{12}+2}{3}$ �������Ҥ�Ѻ ��� $\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$ $\frac{1}{3}\sqrt{(10^{12}-1)(10^{12}+5)+9}$ ��� $10^{12}-1 = A$ ���Ҥ�Ңͧ 997-996-995+994+993-992=1 ����⨷���ҸԵ�����ѹ��Ѻ ����á��� $\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3} }{\frac{1}{3}-\frac{1}{4} }$*$\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{5} }{\frac{1}{5}-\frac{1}{6} }$*$\frac{\frac{1}{6}-\frac{1}{7} }{\frac{1}{7}-\frac{1}{8} }$*$....................................*\frac{\frac{1}{98}-\frac{1}{99} }{\frac{1}{99}-\frac{1}{100} }$ �ͧ��ԧ�Ф�Ѻ ����⨷���ҸԵ�����ѹ��Ѻ ����á��� $\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3} }{\frac{1}{3}-\frac{1}{4} }$*$\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{5} }{\frac{1}{5}-\frac{1}{6} }$*$\frac{\frac{1}{6}-\frac{1}{7} }{\frac{1}{7}-\frac{1}{8} }$*$....................................*\frac{\frac{1}{98}-\frac{1}{99} }{\frac{1}{99}-\frac{1}{100} }$ copy from POSN preparation test ����⨷���ҸԵ�����ѹ��Ѻ ����á��� $\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3} }{\frac{1}{3}-\frac{1}{4} }$*$\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{5} }{\frac{1}{5}-\frac{1}{6} }$*$\frac{\frac{1}{6}-\frac{1}{7} }{\frac{1}{7}-\frac{1}{8} }$*$....................................*\frac{\frac{1}{98}-\frac{1}{99} }{\frac{1}{99}-\frac{1}{100} }$ �ͧ��ԧ�Ф�Ѻ $=\frac{4}{2} * \frac{6}{4} * \frac{8}{6} * \frac{10}{8} * .... * \frac{98}{96} * \frac{100}{98}$ $=\frac{100}{2}$ $=\frac{4}{2} * \frac{6}{4} * \frac{8}{6} * \frac{10}{8} * .... * \frac{98}{96} * \frac{100}{98}$ $=\frac{100}{2}$ ��駢�͵�������� :) ���Ҥ�Ңͧ ���Ҥ�� a,b,c ���Ҥ�Ңͧ ���Ҥ�� a,b,c 1.�ŧ����� $\frac{7}{4}*\frac{8}{5}* \frac{9}{6}* \frac{10}{7}* \frac{11}{8}*........*\frac{23}{20}* \frac{24}{21}* \frac{25}{22}$ �Ѵ����Ţ������ 7 ������� $\frac{23*24*25}{4*5*6}=115$ 2.�����ҷӤ�Ѻ ���Ҥ�� a,b,c $\frac{17}{10}=1+\frac{7}{10}$ a=2,b=1,c=3 ����Է����Ѻ :p �����Է����Сѹ�Ф� ���Ҥ�Ңͧ$\sqrt{(71)(70)(69)(68)+1}$ �����Է����Сѹ�Ф� ���Ҥ�Ңͧ$\sqrt{(71)(70)(69)(68)+1}$ ��� $68 = a $ ���� $\sqrt{(71)(70)(69)(68)+1} = \sqrt{(a+3)(a+2)(a+1)(a)+1}$ $ = \sqrt{[a(a+3)][(a+2)(a+1)]+1}$ $ = \sqrt{(a^2+3a)(a^2+3a+2)+1}$ ��� $a^2+3a = b$ ���� $ = \sqrt{b(b+2)+1}$ $ = \sqrt{b^2+2b+1}$ $ = \sqrt{(b+1)^2}$ $ = b+1 $ $ = a^2+3a+1$ $ = 68^2+3(68) +1$ $= 4829$ �����������Ѻ ��� 7!=5040 ����Ţ 3 ��Ƿ��� ����� = 4 (0+4+0) 8! = 40320 ����Ţ 3 ��Ƿ��� ����� = 5 (3+2+0) ������� 2552! �ռ�����Ţⴴ637��Ƿ�����ҡѺ����� ⴹ �س banker �Ѵ˹�ҫС� 55 �������� ��餹��ҡ�� ���⨷������¤�Ѻ :haha: �����������Ѻ ��� 7!=5040 ����Ţ 3 ��Ƿ��� ����� = 4 (0+4+0) 8! = 40320 ����Ţ 3 ��Ƿ��� ����� = 5 (3+2+0) ������� 2552! �ռ�����Ţⴴ637��Ƿ�����ҡѺ����� ���������¢����˹��� ���� choice ��� :haha: $ �. 2 \ \ �. 4 \ \ �. 6 \ \ �. 8$ �����������Ѻ ��� 7!=5040 ����Ţ 3 ��Ƿ��� ����� = 4 (0+4+0) 8! = 40320 ����Ţ 3 ��Ƿ��� ����� = 5 (3+2+0) ������� 2552! �ռ�����Ţⴴ637��Ƿ�����ҡѺ����� 2552 ���Ţ 0 ŧ���·����� �ѧ��鹼źǡ�Ţⴴ 637 ����ش������ҡѺ�Ţⴴ��Ƿ�� 637 �Ѻ�ҡ������ = 8 ��͵��� 2552 ���Ţ 0 ŧ���·����� �ѧ��鹼źǡ�Ţⴴ 637 ����ش������ҡѺ�Ţⴴ��Ƿ�� 637 �Ѻ�ҡ������ = 8 ������ҧ�� �֧�� �Ţⴴ��Ƿ�� 637 �Ѻ�ҡ������ = 8 ��Ѻ ��͵��� HINT �ӵ����ǹ������Դ��� �� $a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{10}+1} = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{10}+1} \times \frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{10}-1}$ $=\frac{\sqrt{50}-\sqrt{5}+\sqrt{10}-1 }{9}$ �ͺ $-\sqrt{10} $ ��ҹ banker ��駵����¤�Ѻ ���������¢����˹��� ���� choice ��� :haha: $ �. 2 \ \ �. 4 \ \ �. 6 \ \ �. 8$ ��ҹ banker ���Ը��˹��Ѻ ��ҡ����������Ըդ�Ѻ ������ҧ�� �֧�� �Ţⴴ��Ƿ�� 637 �Ѻ�ҡ������ = 8 ��Ѻ �ҡ $\therefore �Ţⴴ��Ƿ�� 637 �Ѻ�ҡ������ = 6$ �ҡ $\therefore �Ţⴴ��Ƿ�� 637 �Ѻ�ҡ������ = 6$ ú�ǹ����Ժ���������˹��¤�Ѻ 1. �ç�չ���Թ ������ͧ $9x8!$ 2. �ç��ᴧ ���� �� $9x2x2= $ ú�ǹ����Ժ���������˹��¤�Ѻ 1. �ç�չ���Թ ������ͧ $9x8!$ 2. �ç��ᴧ ���� �� $9x2x2= $ ���ͧ�ҡ�Ţⴴ���ѡ˹��¢ͧ�Ţ 1-2550 ���� 1-9 ��� 10 �ѧ��鹼Ťس�ͧ�Ţⴴ���ѡ˹��� $=9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 9x8!$ �����Դ����Ẻ��� ������������Ҩж١�������� �����ѧ�բ����ѧࡵصç����Ţ��ѡ˹����Դ�ҡ�����ٻẺ�� �����ǼŤٳ�ͧ�ѹ���Ţⴴ����á�������� 0 �� 2,4,6,8 ����������ٻẺ�ѹ��Ẻ�˹ ���Ǥس banker �Դ�ѧ䧤�Ѻ ú�ǹ���˹��¤�Ѻ ʧ������м��Դ�� 1 ����ٻẺ�ѹ����Ҩ��� ���ԴẺ����Ѻ ���ǧ����������� r �ѧ���ǧ����˭������ 2r $B=\frac{1}{4} \pi 2r^2-((\frac{1}{2}\pi r^2-(\frac{1}{2}\pi r^2-\frac{1}{4}\pi r^2)X2)+\frac{1}{2}\pi r^2$ $a=(\frac{1}{2}\pi r^2-\frac{1}{4}\pi r^2)X2$ �����Ѵ����º ���������ж١�����Ҥ�Ѻ ��Ѻ�Ҿ����⨷�� :D ����ͺ�ç��� ��ǹ ���� � ��Ѻ ����Ѻ�� �ҸԵ��з���ѹ ��� ��㹺��� ��Ѻ�Ҿ����⨷�� :D ����ͺ�ç��� ��ǹ ���� � ��Ѻ ����Ѻ�� �ҸԵ��з���ѹ ��� ��㹺��� $1000 = n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+...+(n+k)$ $k = 4$ $k = 24$ $n=198 �Ѻ k=4$ ��Ѻ�Ҿ����⨷�� :D ����ͺ�ç��� ��ǹ ���� � ��Ѻ ����Ѻ�� �ҸԵ��з���ѹ ��� ��㹺��� ����Ẻ��� $(k+1)(n+\frac{k}{2}) = 1000$ $k$ �繨ӹǹ��� $k+1 \left|\,\right. 1000$ ŧ��� $Max$ $n$ $k+1 = 5$ $250-2 = 248$ $Min$ $n$ $\frac{1000}{k+1}-\frac{k}{2} = n$ �ç�����$\frac{1000}{5}-\frac{4}{2} =200-2 =198$ ���ֹ�˹��� ���� �س�Ե�� �١���Ǥ�Ѻ �ѹ��� ���ѧ��� :haha: ������������Ѻ ���ӧҹ����������º��¤�Ѻ...�ҡ�Ȣ�ҧ�����ҡ��Ѻ ������$35-37$ͧ�������� ������������Ѻ ���ӧҹ����������º��¤�Ѻ...�ҡ�Ȣ�ҧ�����ҡ��Ѻ ������$35-37$ͧ�������� �س�Ե�Էӧҹ������ͤ�Ѻ ������ҡ�������ѹ��� :sweat: �ӧҹ�����ç����秤�Ѻ....55555 ��Ѻ�Ҿ����⨷�� :D ����ͺ�ç��� ��ǹ ���� � ��Ѻ ����Ѻ�� �ҸԵ��з���ѹ ��� ��㹺��� �� $n$ ���� $k+1$ �ӹǹ $1000 = n(k+1) + \frac{k(k+1)}{2}$ $1000 = (k+1)(n + \frac{k}{2})$ $2000 = (k+1)(2n + k)$ $1\times 2000 = (k+1)(2n + k)$ �ó� $k+1 = 1 $ ��� $2n+k = 2000$ ���� $k = 0, \ \ \ n = 1000$ ������� ���� $k$ ����繨ӹǹ����ǡ $2\times 1000 = (k+1)(2n + k)$ $k=1 \ \ \ n \ $ ����繨ӹǹ��� ᷹���仵����ǻ�Сͺ�ͧ 2000 5 �繵�ǻ�Сͺ����á������� $n$ �鹨ӹǹ����ǡ $k = 4 \ \ \ n =198$ 25 �繵�ǻ�Сͺ����ҡ����ش������� $n $ �繨ӹǹ����ǡ $ k = 24 \ \ \ n =28$ �ͺ $n$ ���·���ش ��� $28 \ \ $ ����ҡ����ش��� $ \ 198 \ $������� �ըӹǹ����ǡ $k$ ��� $1000 1.��Ǵǧ˹�� 1 �ѹ�� 10 ��. 1 ��. �� 100 �ҷ� ������ҷ������ 6 ��� 75 �ҷ� �����鹡Ѻ�����Ƿ�����ѹ���ͧ�� 2.��� � �Թ�ҧ�ҡ���ͧ A � ���ͧ B ���¤������� 50 km/h �����Թ�ҧ��Ѻ���¤������� 70 km/h �ҡ���Թ�ҧ仡�Ѻ����ͺ������ 18 ��. �������зҧ�����ҧ���ͧ A ��� B 1.��Ǵǧ˹�� 1 �ѹ�� 10 ��. 1 ��. �� 100 �ҷ� ������ҷ������ 6 ��� 75 �ҷ� �����鹡Ѻ�����Ƿ�����ѹ���ͧ�� �¶������ ˹�ҹ���Ѻ http://www.mathcenter.net/forum/showpost.php?p=78413&postcount=2 2.��� � �Թ�ҧ�ҡ���ͧ A � ���ͧ B ���¤������� 50 km/h �����Թ�ҧ��Ѻ���¤������� 70 km/h �ҡ���Թ�ҧ仡�Ѻ����ͺ������ 18 ��. �������зҧ�����ҧ���ͧ A ��� B 仡�Ѻ 1 �ͺ ������ 6 ������� �����ҧ���ͧ A ��� B = $x$ km $\frac{x}{50}+\frac{x}{70} = 6$ $x =175$ ��⨷���� ầ������ ˹��¤�Ѻ �ѹ��ҷ�´� 2552 ���Ţ 0 ŧ���·����� �ѧ��鹼źǡ�Ţⴴ 637 ����ش������ҡѺ�Ţⴴ��Ƿ�� 637 �Ѻ�ҡ������ = 8 ���Ǣ������Ţⴴ��Ƿ��������ѧ� ú�ǹ�ʴ����ٴ��¤�Ѻ �ѹ������º� ��鹢͵��⨷�������ǡѹ ���Ҿ�鹷������ ���Դ�� 3.5325 ��Ф�Ѻ������١������ (�Ҩҡ��鹷��ͧ 1/4 �ͧǧ��� - ��鹷���բ�Ƿ���鹷�����ҫ��Ѻ�ѹ(���ͧ�ҡ��鹷������+��鹷���բ�Ǵ�ҹ��ҧ���=��鹷��1/4�ͧǧ���)) �ѹ������º� ��鹢͵��⨷�������ǡѹ ���Ҿ�鹷������ ��鹷������ = ��鹷������������ OAB = $\frac{1}{2}\times{3}\times{3}= 4.5$ ���Ǣ������Ţⴴ��Ƿ��������ѧ� ú�ǹ�ʴ����ٴ��¤�Ѻ �������ҡ������������ѹ :haha: ���Դ�� 3.5325 ��Ф�Ѻ������١������ (�Ҩҡ��鹷��ͧ 1/4 �ͧǧ��� - ��鹷���բ�Ƿ���鹷�����ҫ��Ѻ�ѹ(���ͧ�ҡ��鹷������+��鹷���բ�Ǵ�ҹ��ҧ���=��鹷��1/4�ͧǧ���)) �ӵͺ��� 4.5 ������س nong_jae �͡����Ѻ ��鹷������ = ��鹷������������ OAB = $\frac{1}{2}\times{3}\times{3}= 4.5$ ��� ��ԧ���¤�Ѻ ��鹷���ѹ��ҡѺ���������� ���ҫ��Ѻ��鹷���բ�� �������Դ���֧��:haha: ��������ͧ�ա��� ABCD ������������������ 6x6 OEF ����������������ҡ OE=8, OF=6 ���Ҿ�鹷������ ��纻�꺵ͺ��� $\frac{1}{2} \times 6\times 8 - \frac{1}{4}(6\times 6) = 15$ ��纻�꺵ͺ��� $\frac{1}{2} \times 6\times 8 - \frac{1}{4}(6\times 6) = 15$ ��ҹ banker ���⨷���ҧ�Ԥ�Ѻ �������ҡ������������ѹ :haha: ���Ǥس"��ͧ_��" �ͺ�����ҧ�ä�Ѻ :great: ��ҹ banker ���⨷���ҧ�Ԥ�Ѻ �����Ǥ�Ѻ ��⨷������ҹ������ͧ�ѹ�� �������Ըշ� �����ʴ��Ըշ����˹��¤�Ѻ �ѧ�˹�� �շ��䢹�����˹�觷�� ��з��鹶ѧ�շ�������͡�������·�� �ء����բ�Ҵ��ҡѹ ������Ҷ���Դ������Ҿ�����Ѻ�Դ�����͡ 12 ��� ��Ө�����ѧ����ҡ��ҷ� �����Ǥ�Ѻ ��⨷������ҹ������ͧ�ѹ�� �������Ըշ� �����ʴ��Ըշ����˹��¤�Ѻ �ѧ�˹�� �շ��䢹�����˹�觷�� ��з��鹶ѧ�շ�������͡�������·�� �ء����բ�Ҵ��ҡѹ ������Ҷ���Դ������Ҿ�����Ѻ�Դ�����͡ 12 ��� ��Ө�����ѧ����ҡ��ҷ� $������������ѵ�ҧҹ = x$ $1 = 20(10y - x)....1$ $1=2$ ᷹��� x � 1 ᷹��� y � 3: $1 = (���ҹ�����)(12y - x)$ ����ҧ�ԧ�֧����˹��¤�Ѻ ���м��繤��Դ�ҡ ��Ф���ҧ�п�駫�ҹ�ҡ� ���ԴẺ����Ѻ http://learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/Math/problem02.JPG ��������ͧ���ص�����繵���ٻ����ͧ ���$m$���$n$�繨ش�ٹ���ҧǧ�������ͧǧ ��Шش�Ѵǧ�������ͧ��ͨش$S$ �Դ�����������ͧ�ٻ����մ�ҹ�����ѹ ���������������� $mnOS$ http://learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/Math/problem04.JPG ��������������մ�ҹ�����ѹ���$nOS$���$mOS$ ������������˹�Ҩ������մ�ҹ��Сͺ����ʹ�����ҡѺ�����ǧ��� �����ҡѺ$r$ ��á�Ш��Ҥ�����Ǣͧ��ҹ$OS$��Դ��������������� ���ͧ��仡� �����Ժ����ͧ����Ҵ�. ���ͧ�ҡ����������˹�Ҩ�����������ҹ��ҡѹ �����ҡѺ$x$���$y$����ٻ �ҡ�����������ͧ�ͧ����ç������������������ �з���������$(x+y)+(x+y) =180$ $\rightarrow x+y =90$ ��Шҡ�����������ͧ������㹢ͧ������������ҹ���ǡѹ����ѹ��$180$ �����������ʹ����ͧ�����$90$.....��·�������Ըյ�������� ����ҧ�ԧ�֧����˹��¤�Ѻ ���м��繤��Դ�ҡ ��Ф���ҧ�п�駫�ҹ�ҡ� ���ФԴ������������Ҩش�Ѵ�ͧǧ�������ͧǧ����ҡ���ѧ�ش�ٹ���ҧ�ͧǧ�������ͧ���ǵ�駩ҡ�Ѻ��鹼�ҹ�ٹ���ҧ�ͧǧ������ �ͧ�ٻ ������Ṻ�ٻ������ �����$m$���$n$�繨ش�ٹ���ҧǧ�������ͧǧ ��觴���ٻ�����ѹ����Ҩ��� http://learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/Math/problem02.JPG ��������ͧ���ص�����繵���ٻ����ͧ ���$m$���$n$�繨ش�ٹ���ҧǧ�������ͧǧ ��Шش�Ѵǧ�������ͧ��ͨش$Q$ �Դ�����������ͧ�ٻ����մ�ҹ�����ѹ ���������������� $mnOQ$ http://learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/Math/problem03.JPG ��������������մ�ҹ�����ѹ���$nOQ$���$mOQ$ ������������˹�Ҩ������մ�ҹ��Сͺ����ʹ�����ҡѺ�����ǧ��� �����ҡѺ$r$ ��á�Ш��Ҥ�����Ǣͧ��ҹ$OQ$��Դ��������������� ���ͧ��仡� �����Ժ����ͧ����Ҵ�. ���ͧ�ҡ����������˹�Ҩ�����������ҹ��ҡѹ �����ҡѺ$x$���$y$����ٻ �ҡ�����������ͧ�ͧ����ç������������������ �з���������$(x+y)+(x+y) =180$ $\rightarrow x+y =90$ ��Шҡ�����������ͧ������㹢ͧ������������ҹ���ǡѹ����ѹ��$180$ �����������ʹ����ͧ�����$90$.....��·�������Ըյ�������� ��ͧ���ɤس�Ե�ԹФ�Ѻ ���ѧ�չ����� ��������������Ҥس�Ե�Ե�ͧ��þ��٨������ �ٻ��ҧ�� ��������������Ѵ��ǹ����� �ͧ��ǧ���¹�Ҵ������������Ѻ ���ͧ�Ҵ�ٻ������scale ����ǧ���¹ 2808 �����صԨش�Ѵǧ�����$S$���ǡѹ ������ٻ���ش$Q$�������� �������س��banker�Ҵ�������Ф�Ѻ...����Ҿ�����ҧ����Ҵ�礧��������Դ����ʧ������ҧ����ʧ��¤�Ѻ �ѡ��ռ���ô��Դ˹�觷���դ�������� 48% �Ѻ�ô��Դ���ǡѹ����դ�������� 80% �ҡ��鹡�������ŧ��ա 2 �Ե� �ش������ô����ҵ� 10 �Ե� ����դ�������� 40% �����ҹѡ�����ô����դ�������� 48% �ӹǹ���������Ե� �ѡ��ռ���ô��Դ˹�觷���դ�������� 48% �Ѻ�ô��Դ���ǡѹ����դ�������� 80% �ҡ��鹡�������ŧ��ա 2 �Ե� �ش������ô����ҵ� 10 �Ե� ����դ�������� 40% �����ҹѡ�����ô����դ�������� 48% �ӹǹ���������Ե� 7500 ml :) ���Ǥس"��ͧ_��" �ͺ�����ҧ�ä�Ѻ :great: ��� ������� 7500 ml :) �ʴ��ԸշӴ��«Ԥ�Ѻ ��ҹ��駡�����ͧ����������ͤ�Ѻ ��������Ҷ١�ֻ��Ǥ�Ѻ :mellow: ��� ������� ���ɤ�Ѻ :please:���Ƿ�Һ�����ҧ�ä�Ѻ �ѡ��ռ���ô��Դ˹�觷���դ�������� 48% �Ѻ�ô��Դ���ǡѹ����դ�������� 80% �ҡ��鹡�������ŧ��ա 2 �Ե� �ش������ô����ҵ� 10 �Ե� ����դ�������� 40% �����ҹѡ�����ô����դ�������� 48% �ӹǹ���������Ե� ��ѡ�������� ����ҳ���͡ô�ҡ�������� = ����ҳ���͡ô�ش���� ����ҳ���͡ô� 48% + ����ҳ���͡ô� 80% + ���͡ô㹹�� = ����ҳ���͡ô� 40% ... (˹������Ե�) $\frac{48}{100} \cdot x + \frac{80}{100}\cdot (8 - x) + \frac{0}{100}\cdot 2 = \frac{40}{100}\cdot 10$ $x = 7.5 = 7500 ������Ե�$ 1) A �͡���͡�о������ 5 �١����� 3 �ҷ� 2) ����ǹ��˹�觵�ͧ��ù��蹫�����좹Ҵ 40x40 ��.��. �һ����ͷӷҧ�Թ�ͺ�ǹ��ǹǹ�ͧ�� �ҡ�ǹ��觹���դ������ 160 ���� ����վ�鹷�� 4 ��� ��ҡ��Һ��ҵ�ͧ���蹫���������� ᴧ�Թ�ҧ�ҡ���ѡ��ç���¹���¤������� 4 ��./��. �����Թ��Ѻ���¤���������� �ѹ���������Թ���¤������� 3 ��./�� ��Тҡ�Ѻ�Թ���¤������� 5 ��./�� �����������ҡ�����ѹ�á 20 �ҷ� ����������зҧ�ҡ���ѡ��ç���¹��ҧ�ѹ����������. ᴧ�Թ�ҧ�ҡ���ѡ��ç���¹���¤������� 4 ��./��. �����Թ��Ѻ���¤���������� �ѹ���������Թ���¤������� 3 ��./�� ��Тҡ�Ѻ�Թ���¤������� 5 ��./�� �����������ҡ�����ѹ�á 20 �ҷ� ����������зҧ�ҡ���ѡ��ç���¹��ҧ�ѹ����������. �ͺ 50 km ��Ѻ:) ��ǹ�Ըշ��ѧ�������� ���ͧ�ҡ����ջѭ�Ҿ��Latex ��������;) �ͺ 50 km ��Ѻ:) ��ǹ�Ըշ��ѧ�������� ���ͧ�ҡ����ջѭ�Ҿ��Latex ��������;) �ѧ����ͧ�պ������ԸշӤ�Ѻ ���е�ͧ��Ѻ��������Ѻ :) �ѧ����ͧ�պ������ԸշӤ�Ѻ ���е�ͧ��Ѻ��������Ѻ :) ��� ź�Ţ�Դ��Ѻ �ͺ���� 10 km:) ��� ź�Ţ�Դ��Ѻ �ͺ���� 10 km:) ����������Ǥ�Ѻ:great: ��е������¤�Ѻ ᴧ�Թ�ҧ�ҡ���ѡ��ç���¹���¤������� 4 ��./��. �����Թ��Ѻ���¤���������� �ѹ���������Թ���¤������� 3 ��./�� ��Тҡ�Ѻ�Թ���¤������� 5 ��./�� �����������ҡ�����ѹ�á 20 �ҷ� ����������зҧ�ҡ���ѡ��ç���¹��ҧ�ѹ����������. $(\frac{s}{3} + \frac{s}{5}) - \frac{s}{2} = \frac{1}{3}$ ����������Ǥ�Ѻ:great: ��е������¤�Ѻ �Ըշ� ��˹�������зҧ = x ����仡�Ѻ�ѹ�á = x/2 (x/4 �ٳ 2) ����仡�Ѻ�ѹ����� = 8x/15 (x/3 �ǡ�Ѻ x/5) ������Ңͧ�ѹ����ͧ�����ҡ�������� 20 �ҷ� ���� 1/3 ��. �������� x/2 = 8x/15 - 1/3 x = 10 ��͵��� ��˹���� a = b^2 = c/2 ��� a+b+c = 30 ���� (1/ab+bc+ac)^2 �դ������� (�����Latex�����) 1) A �͡���͡�о������ 5 �١����� 3 �ҷ� 2) ����ǹ��˹�觵�ͧ��ù��蹫�����좹Ҵ 40x40 ��.��. �һ����ͷӷҧ�Թ�ͺ�ǹ��ǹǹ�ͧ�� �ҡ�ǹ��觹���դ������ 160 ���� ����վ�鹷�� 4 ��� ��ҡ��Һ��ҵ�ͧ���蹫���������� ��������ѹ���Ф�Ѻ ��������ѹ���Ф�Ѻ �Դ����͡��Ѻ �ҡ令�Ѻ:haha: ��������ѹ���Ф�Ѻ �س JSompis ��Ѻ ⨷���ҧ������繢���ͺ��Ҥ���Ե��ʵ�������ش���ͻ��Ǥ�Ѻ ? �س JSompis ��Ѻ ⨷���ҧ������繢���ͺ��Ҥ���Ե��ʵ�������ش���ͻ��Ǥ�Ѻ ? ��������Ф� ��������Ф� �ͺ�س�ҡ��Ѻ �س nong_jae ��������Ҥس�ا Banker ��оǡ���������¡ѹ������ǹ�Ф�Ѻ ����ҡ��з����ҹ�Ф�Ѻ �س JSompis ��.) ú�ǹ�س nong_jae ���¡ѹ���⨷����¹�Ф�Ѻ �ͺ�س��ǧ˹�Ҥ�Ѻ http://www.uptopic.net/upload/global/10-12/hqntcrob.png $\geqslant$ 180ͧ��$\leqslant$ �����Ҥ�Ѻ http://www.uptopic.net/upload/global/10-12/hqntcrob.png 180ͧ�� ��Ѻ:) �ʴ��ԸշӴ��¤�Ѻ ���ѧ���������Ѻ (�ѹUpload �ٻ����� �����Latex������� ����������������Ѻ:sweat:) ���ɷչФ�Ѻ:please: (��Ҿ���������Ǩ��Ҿ�����Ѻ) http://www.uptopic.net/upload/global/10-12/hqntcrob.png ��ͤ��������¹�¤س JSompis 2) ����ǹ��˹�觵�ͧ��ù��蹫�����좹Ҵ 40x40 ��.��. �һ����ͷӷҧ�Թ�ͺ�ǹ��ǹǹ�ͧ�� �ҡ�ǹ��觹���դ������ 160 ���� ����վ�鹷�� 4 ��� ��ҡ��Һ��ҵ�ͧ���蹫���������� ⨷������ҹ�������������� ���������ҷ�:haha: ����ç��ҧ�ͧ�ٻ 5 ������ ��ô��� 5 �ͧ�մ��鹨��� ���������� 5 �ٻ (˹�Ҩ���) = 360/5 = 72 =��������ҹ 1 ��� = (180-72)/2=54 �ҡ�ԴẺ�����ʴ���� 5 ��������ç��ҧ ��ͧ�� 5 ���������ҹ��Ҵ��� �֧����� 360/5 �� ��⨷�������͡������� �����������ҧ�ä�Ѻ����� 5 ���������ҹ��� ú�ǹ������� ���д��ٻ��������Ҩ��� �ҡ�ԴẺ�����ʴ���� 5 ��������ç��ҧ ��ͧ�� 5 ���������ҹ��Ҵ��� �֧����� 360/5 �� ��⨷�������͡������� �����������ҧ�ä�Ѻ����� 5 ���������ҹ��� ú�ǹ������� ���д��ٻ��������Ҩ��� �������ԧ�ѹ���Ըվ��٨���Ѻ (�����������) 2821 $(A+1+2)+(B+3+4)+(C+5+6)+(D+7+8)+(E+9+10) = 5 \times 180$ $(A+B+C+D+E) + 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 5 \times 180$ $(A+B+C+D+E) + (180-T)+(180-P)+(180-P)+(180-Q)+(180-Q)+(180-R)+(180-R)+(180-S)+(180-S)+(180-T) = 5 \times 180$ $(A+B+C+D+E) + (10\times 180) -2(P+Q+R+S+T) = 5\times 180$ $(A+B+C+D+E) = (5\times 180) - (10\times 180) +2(P+Q+R+S+T) $ $(A+B+C+D+E) = 2(P+Q+R+S+T) - (5\times 180) $ $(A+B+C+D+E) = 2(3\times 180) - (5\times 180) \ \ \ $ (���������������������ѹ��ҡѺ 3x180 ͧ��) $(A+B+C+D+E) = 180 \ \ \ $ Q.E.D. http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2821 $(A+1+2)+(B+3+4)+(C+5+6)+(D+7+8)+(E+9+10) = 5 \times 180$ $(A+B+C+D+E) + 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 5 \times 180$ $(A+B+C+D+E) + (180-T)+(180-P)+(180-P)+(180-Q)+(180-Q)+(180-R)+(180-R)+(180-S)+(180-S)+(180-T) = 5 \times 180$ $(A+B+C+D+E) + (10\times 180) -2(P+Q+R+S+T) = 5\times 180$ $(A+B+C+D+E) = (5\times 180) - (10\times 180) +2(P+Q+R+S+T) $ $(A+B+C+D+E) = 2(P+Q+R+S+T) - (5\times 180) $ $(A+B+C+D+E) = 2(3\times 180) - (5\times 180) \ \ \ $ (���������������������ѹ��ҡѺ 3x180 ͧ��) $(A+B+C+D+E) = 180 \ \ \ $ Q.E.D. �ش�ʹ��Ѻ��ҹ ������������ http://www.uptopic.net/upload/global/10-12/hqntcrob.png �����繵�ͧ�֡��Ҵ������ $b+e = x$ $c+x+y = 180$ �� https://doc-0o-58-docs.googleusercontent.com/docs/secure/lg1bvlmogph8r764s8ir7ncgdjhmnmbk/08002pd40ej9u382e74eehaerchgqacp/1269950400000/09443255591267896295/09443255591267896295/0B-I6Ruq3vTB1NmRkZTgxYjEtNDk5Mi00YTEyLTgyMTMtMDEwYjYzMTQ5NmRk?nonce=67vmmh685vnou&user=09443255591267896295&hash=3p5tdp28jid7kt3nao3kpm6otgbku4r3 ����Ţ�ӴѺ��� 2010 �����Ţ���� �����繵�ͧ�֡��Ҵ������ $b+e = x$ $c+x+y = 180$ �� ��������ǤԴ�ͧSiren-Of-Step ����س����� �����¹͡��ҡѺ������㹷������ç��������ѹ ����ٻ��Ѻ ����Ţ�ӴѺ��� 2010 �����Ţ���� �ѧ���Ѻ������ӴѺ����Ѻ ���¶֧���� ����ִ "," �繵�����ӴѺ ��ҹѺẺ��� ������� ����Ţ���˹觷�� 2010 ��ͪش�ͧ 63 �������㹵��˹觤�� �֧�� - (ź) \(\overbrace{-63}^{���˹觷�� 2010}\) +63, -63, +63, -63, +63, \(\overbrace{-63}^{���˹觷�� 2016}\)+ 64 ���ҹѺ�ӴѺ��Ẻ��� ���ͧ�Դ���� �ѧ���Ѻ������ӴѺ����Ѻ ���¶֧���� ����ִ "," �繵�����ӴѺ ��ҹѺẺ��� ������� ����Ţ���˹觷�� 2010 ��ͪش�ͧ 63 �������㹵��˹觤�� �֧�� - (ź) \(\overbrace{-63}^{���˹觷�� 2010}\) +63, -63, +63, -63, +63, \(\overbrace{-63}^{���˹觷�� 2016}\)+ 64 ���ҹѺ�ӴѺ��Ẻ��� ���ͧ�Դ���� ���㨶١���Ǥ�Ѻ �ӵͺ��١���� �ͺ�����Ѻ ��Ң���Դ���ҧ�� ���м��ͧ����͡ ���Ҿ�鹷������������ X �ѧ���Ѻ������ӴѺ����Ѻ ���¶֧���� ��ҹѺẺ��� ������� ����Ţ���˹觷�� 2010 ��ͪش�ͧ 63 �������㹵��˹觤�� �֧�� - (ź) ���ҹѺ�ӴѺ��Ẻ��� ���ͧ�Դ���� �س banker �����ö֧���������� 63 ���� ���˹觷�� 2010 ��Ѻ �س banker �����ö֧���������� 63 ���� ���˹觷�� 2010 ��Ѻ ����حҵ�ͺ᷹���������Դ�Ф�Ѻ ���ѧࡵ������� ������ͧ�ӹǹ����Ţ����������� ⨷������ҵ�Ƿ�� 2010 �ѧ��鹵���Ţ�������˹觷�� 1954 - 2016 ��� 63 $���X^2=2X+\frac{7}{2} ���� X^3 ������$ �ͺ�����Ѻ ��Ң���Դ���ҧ�� ���м��ͧ����͡ ���Ҿ�鹷������������ X ⨷�����й��ѹ���ŷ���ͧ��è�������¡�õ������ HINT $���X^2=2X+\frac{7}{2} ���� X^3 ������$ $X^2=2X + \frac{7}{2}.....1$ $1 x X:$ $X^3=2X^2 + \frac{7X}{2}$ $X^3=2(2X + \frac{7}{2})+\frac{7X}{2}$ $X^2=2X + \frac{7}{2}.....1$ $1 x X:$ $X^3=2X^2 + \frac{7X}{2}$ $X^3=2(2X + \frac{7}{2})+\frac{7X}{2}$ :great: :great: :great: [QUOTE=banker;83682]⨷�����й��ѹ���ŷ���ͧ��è�������¡�õ������ HINT �ͺ�س��Ѻ ����������� ��觷�Һ����ա�Ẻ������ $X^2=2X + \frac{7}{2}.....1$ $1 x X:$ $X^3=2X^2 + \frac{7X}{2}$ $X^3=2(2X + \frac{7}{2})+\frac{7X}{2}$ �������Ф�Ѻ ABCD ��� CEFG ������������������ EF ��� 12 ��. ���Ҿ�鹷������ ABCD ��� CEFG ������������������ EF ��� 12 ��. ���Ҿ�鹷������ AB �������ä� ABCD ��� CEFG ������������������ EF ��� 12 ��. ���Ҿ�鹷������ �ͺ 144 ���ҧ��. 2826 ��鹷������ = $\frac{1}{2}$ \(\unicode{8450} \)$ABEH-\bigtriangleup GEF-$\(\unicode{8450} \)$DGFH-\bigtriangleup ADG = 144$���ҧ��. ⨷������ҹ �ѧ�Դ�Ѵ���� ����˹��¤�Ѻ ö��÷ء�ѹ˹������ԡ�â����Թ��������ҧ���ͧ A �Ѻ ���ͧ B ���ö�ѹ������Թ��Ҩҡ���ͧ A ����ͧ B ���С�Ѻ 3 ����� (����Թ������ ��Ѻ��ö����) ������ 5 �ѹ ������ ���ͧ A ������ҧ���ͧ B ���������� #215 #215 ����Դ�ǹ�� ��ӵͺ��� ���зҧ A �֧ B ��ҡѺ $243\frac{1}{18}$ �������� ����Ţ������ ����������� �ͺ 144 ���ҧ��. http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2826&d=1270030749 ��鹷������ = $\frac{1}{2}$ \(\unicode{8450} \)$ABEH-\bigtriangleup GEF-$\(\unicode{8450} \)$DGFH-\bigtriangleup ADG = 144$���ҧ��. �ԸդԴ�١���� ��ӵͺ�ѧ���١��Ѻ 2826 ��鹷������ =[ABCD]+[CDFG]-[ABE]-[EFG]-[ADG] �ԸդԴ�١���� ��ӵͺ�ѧ���١��Ѻ �� �� �����Ҩ��� �ٳ�ͧ�����������ͧ ���������ҹ������Ẻ��� ��ⴹ... ����� :haha: ú�ǹ���ԸդԴ����˹��¤�Ѻ �٨ҡ�ٻ�������� 1:5 ���ѧ���Ըվ��٨������� ABCD ������������������ P,Q,R ��� S �繨ش��觡�ҧ�ͧ��ҹ AB,BC,CD ��� DA ����ӴѺ �����ѵ����ǹ�ͧ��鹷�����ҵ�;�鹷������� 1) A �͡���͡�о������ 5 �١����� 3 �ҷ� 2) ����ǹ��˹�觵�ͧ��ù��蹫�����좹Ҵ 40x40 ��.��. �һ����ͷӷҧ�Թ�ͺ�ǹ��ǹǹ�ͧ�� �ҡ�ǹ��觹���դ������ 160 ���� ����վ�鹷�� 4 ��� ��ҡ��Һ��ҵ�ͧ���蹫���������� HINT ����á HINT �����ѧ ú�ǹ���ԸդԴ����˹��¤�Ѻ �٨ҡ�ٻ�������� 1:5 ���ѧ���Ըվ��٨������� ABCD ������������������ P,Q,R ��� S �繨ش��觡�ҧ�ͧ��ҹ AB,BC,CD ��� DA ����ӴѺ �����ѵ����ǹ�ͧ��鹷�����ҵ�;�鹷������� ����⨷������ԡ����дѺ��ж� ��������������ҡѹ�ء��С�� 2830 ����⨷������ԡ����дѺ��ж� ��������������ҡѹ�ء��С�� �������Ըչ�����Ф�Ѻ ��⨷��͡����ʴ��Ըշ� �������١��� 1) A �Ѻ B �Ѻ�ӧҹ���˹�觵�ŧ�ѹ��Ҩ��觧ҹ�ѹ�Ӥ��Ф��� A ������ӧҹ��������� 9.00 �. ��ǹ B ������ӧҹ��������� 10.30 �. ����ͧ����ش�ѡ��������§�ѹ (12.00 �.) ��ҡ���ҷ���ͧ���ӧҹ������ѹ�� $1\over3$ �ͧ�ҹ������ �͵���·���ͧ��������ӧҹ������ѹ��������� 13.00 �. A �ӧҹ��ǹ�ͧ���������� 16.00 �. ��ҡ��Һ��� B �зӧҹ��ǹ�ͧ����������ҡ����ԡ� 2) ��� n �繨ӹǹ�Ѻ �������ô��� 247 ��� 248 �������� 63 ��ҡѹ ����������� n ��ô��� 26 1) A �Ѻ B �Ѻ�ӧҹ���˹�觵�ŧ�ѹ��Ҩ��觧ҹ�ѹ�Ӥ��Ф��� A ������ӧҹ��������� 9.00 �. ��ǹ B ������ӧҹ��������� 10.30 �. ����ͧ����ش�ѡ��������§�ѹ (12.00 �.) ��ҡ���ҷ���ͧ���ӧҹ������ѹ�� $1\over3$ �ͧ�ҹ������ �͵���·���ͧ��������ӧҹ������ѹ��������� 13.00 �. A �ӧҹ��ǹ�ͧ���������� 16.00 �. ��ҡ��Һ��� B �зӧҹ��ǹ�ͧ����������ҡ����ԡ� 2) ��� n �繨ӹǹ�Ѻ �������ô��� 247 ��� 248 �������� 63 ��ҡѹ ����������� n ��ô��� 26 2) �ͺ 11 �������Ҥ�Ѻ(((247x248)+63)/26):) 2) �ͺ 11 �������Ҥ�Ѻ((247x248)+63/26):) 1) A �Ѻ B �Ѻ�ӧҹ���˹�觵�ŧ�ѹ��Ҩ��觧ҹ�ѹ�Ӥ��Ф��� A ������ӧҹ��������� 9.00 �. ��ǹ B ������ӧҹ��������� 10.30 �. ����ͧ����ش�ѡ��������§�ѹ (12.00 �.) ��ҡ���ҷ���ͧ���ӧҹ������ѹ�� $1\over3$ �ͧ�ҹ������ �͵���·���ͧ��������ӧҹ������ѹ��������� 13.00 �. A �ӧҹ��ǹ�ͧ���������� 16.00 �. ��ҡ��Һ��� B �зӧҹ��ǹ�ͧ����������ҡ����ԡ� 2) ��� n �繨ӹǹ�Ѻ �������ô��� 247 ��� 248 �������� 63 ��ҡѹ ����������� n ��ô��� 26 �ͧ��ٻ�ͧ�ç�ҹ�� �ʴ���� ��ǧ��� A �� $\frac{1}{4}$ �ͧ�ҹ ��к��·��ա $\frac{1}{4}$ �ͧ�ҹ �ѧ��鹪�ǧ��� B �� $\frac{1}{3}-\frac{1}{4} = \frac{1}{12} $ �ͧ�ҹ (������ 1.5 �������) ��ǧ���� B �ӧҹ $\frac{2}{3}-\frac{1}{4} = \frac{5}{12}$ �ͧ�ҹ $\frac{1}{12} $ �ͧ�ҹ B ������ 1.5 ������� $ \frac{5}{12}$ �ͧ�ҹ B ������ $ 5 \times 1.5 = 7.5 $ ������� B �ӧҹ���� $13.00+ 7.5 = 20.5 = 20 : 30$ � �اầ��ͺ�� TOT:cry: http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2831&d=1270100456 ���ͺ���⨷��Ẻ�ٻ�ա��ͤ�Ѻ �ѹ����ͧ����͡��Ҩ�������ѧ� $\bigtriangleup ABC$, BC=6BD, AC=5EC, DG=GH=HE, AF=FG �����ѵ���ǹ�ͧ $\bigtriangleup FGH$ ��� $\bigtriangleup ABC$ ���ͺ���⨷��Ẻ�ٻ�ա��ͤ�Ѻ �ѹ����ͧ����͡��Ҩ�������ѧ� $\bigtriangleup ABC$, BC=6BD, AC=5EC, DG=GH=HE, AF=FG �����ѵ���ǹ�ͧ $\bigtriangleup FGH$ ��� $\bigtriangleup ABC$ ������鹨ҡ 4x ��������鹷����������������ѵ����ǹ��ҹ ������鹨ҡ 4x ��������鹷����������������ѵ����ǹ��ҹ ���ɹФ�Ѻ����Һ 4x �Ҩҡ�˹��Ѻ ���ɹФ�Ѻ����Һ 4x �Ҩҡ�˹��Ѻ ���ص���Ҥ�Ѻ ������� x ������ ������������������Ǩ��ըش�ȹ��� (�����ͺ) ���ص���Ҥ�Ѻ ������� x ������ ������������������Ǩ��ըش�ȹ��� (�����ͺ) OK, I See.. ���������õ�駢�حҵ��駵�����ǡѹ ���������������ͧ��赹������������ѹ�����ҳ 200 �������� �µ�á���Ф��������ͧ�繨ӹǹ $1\over2$, $1\over3$, $1\over6$ �ͧ�����ͧ����������ѹ����ӴѺ �ҡ������Ф�����Ժ�����ͧ�͡�Ҩҡ�ͧ����� ���Ǥ��á������ͧ�ӹǹ $1\over2$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� ������ͧ������ͧ�ӹǹ $1\over3$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� ��������������ͧ�ӹǹ $1\over6$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� �ҡ�������ͧ���١��ҷ����� ��������Ф�����ѹ �з�������Ф��������ͧ��ҡѺ�����ͧ��赹�ͧ������㹵�á ��ҡ��Һ����������ͧ������������ҧ���¡������ ���������õ�駢�حҵ��駵�����ǡѹ ���������������ͧ��赹������������ѹ�����ҳ 200 �������� �µ�á���Ф��������ͧ�繨ӹǹ $1\over2$, $1\over3$, $1\over6$ �ͧ�����ͧ����������ѹ����ӴѺ �ҡ������Ф�����Ժ�����ͧ�͡�Ҩҡ�ͧ����� ���Ǥ��á������ͧ�ӹǹ $1\over2$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� ������ͧ������ͧ�ӹǹ $1\over3$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� ��������������ͧ�ӹǹ $1\over6$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� �ҡ�������ͧ���١��ҷ����� ��������Ф�����ѹ �з�������Ф��������ͧ��ҡѺ�����ͧ��赹�ͧ������㹵�á ��ҡ��Һ����������ͧ������������ҧ���¡������ ⨷�����ҧ��Ѻ�Ѻ���Թ��ж� ����������дѺ�Ѹ������������´ 2838 �µ�á���Ф��������ͧ�繨ӹǹ $1\over2$, $1\over3$, $1\over6$ �ͧ�����ͧ����������ѹ����ӴѺ ---> �ٻ �. �ҡ������Ф�����Ժ�����ͧ�͡�Ҩҡ�ͧ����� ---> �ٻ �. --> $a+b+c = x$ ....(*) ���á������ͧ�ӹǹ $1\over2$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� ������ͧ������ͧ�ӹǹ $1\over3$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� ��������������ͧ�ӹǹ $1\over6$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� ---> �ٻ �. |