ข้อสอบการแปลงทางเรขาคณิต ม.2
ข้อสอบการแปลงทางเรขาคณิต
ID: 2451910
Language: Thai
School subject: sp
Grade/level: 8
Age: 14+
Main content: การแปลง
Other contents: การแปลงทางเรขาคณิต
Link to this worksheet: Copy
Rotsukhon7579
What do you want to do?
Enter your full name:
Group/level:
School subject:
Enter your teacher's email or key code:
CancelPlease allow access to the microphone
Look at the top of your web browser. If you see a message asking for permission to access the microphone, please allow.
Close
ข้อสอบคณิตศาสตร์ (PISA) from Napadon Yingyongsakul
����� ����ͺ�ѹ �����¤���ҡ��¤�Ѻ ���ҧ���س ��Ź�� ��ҵ��⨷�������� $\left|\,\right. a\left|\,\right. \not= \left|\,\right. b\left|\,\right. \not= \left|\,\right. c\left|\,\right.$ $a,b,c \in \mathbb{Z}$ �дա��Ҥ�Ѻ :great:
����� ����ͺ�ѹ �����¤���ҡ��¤�Ѻ ���ҧ���س ��Ź�� ��ҵ��⨷�������� $\left|\,\right. a\left|\,\right. \not= \left|\,\right. b\left|\,\right. \not= \left|\,\right. c\left|\,\right.$ $a,b,c \in \mathbb{Z}$ �дա��Ҥ�Ѻ :great:
�ͺ�س ����ʹ������ �����
������ �س ��Ź ���Է����駢�͵���价ӡѹ��з�� #4 (�ͤԴỻ�֧��:p)
�����駢�͵����������Ѻ ��鹨Ѵ����
***��������������ABCD ��P�繨ش��ҧ����������� ���PA=29,PB=25,PC=17 ���Ҿ�鹷����Ф�����ǢͧPD
��������� �.� ��駤�Ѻ ���� ����������ҧ���� :happy:
***��������������ABCD ��P�繨ش��ҧ����������� ���PA=29,PB=25,PC=17 ���Ҿ�鹷������Ҥ�����ǢͧPD
��������������� ***
�������Ѻ��� ���36 ���ҧ28 ����Ըջ�ж���ǧ���¹���ҧ������������ǧ���¹��ǵ��PA,PB,PC����ش�Ѵ�ش˹�觤��.....
����м��������ҹ��� ���з���Ф�Ѻ
����� ����ͺ�ѹ �����¤���ҡ��¤�Ѻ ���ҧ���س ��Ź�� ��ҵ��⨷�������� $\left|\,\right. a\left|\,\right. \not= \left|\,\right. b\left|\,\right. \not= \left|\,\right. c\left|\,\right.$ $a,b,c \in \mathbb{Z}$ �дա��Ҥ�Ѻ :great:
��ҧ�鹼����ԸդԴ�����¤�Ѻ
�������Ѻ��� ���36 ���ҧ28 ����Ըջ�ж���ǧ���¹���ҧ������������ǧ���¹��ǵ��PA,PB,PC����ش�Ѵ�ش˹�觤��.....
����м��������ҹ��� ���з���Ф�Ѻ
�����Ըդӹǹ ������ä�Ѻ
�Դ����͡
��ҧ�鹼����ԸդԴ�����¤�Ѻ
Absolutely :):)
From $\frac{1}{a}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^2+a}$
$\frac{1}{2553}=\frac{1}{2554}+\frac{1}{2553^2+2553}$
$\frac{1}{2553}=\frac{1}{2553^2+2553}+\frac{1}{2555}+\frac{1}{2554^2+2554}$
����á ���Ҥ�Ңͧ a+b+c �ҡ
$\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} =\frac{1}{2553} $
(a,b,c �դ�������ҡѹ����繨ӹǹ����ǡ )
����Ҥ�èж����Ҩ��Ҥ�ҹ����ش�ͧ a+b+c �ҡ�����
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2553}$
����� $a,b,c$ ��ҧ�繨ӹǹ����ǡ���ᵡ��ҧ�ѹ
��Ҩ���ҷ�ҡ��Ҥ�Ѻ
������ҷ����Դ��
�� a,b,c ����ʹ���ͧ��
$a=2(2553),b=3(2553),c=6(2553)$
$a=2554,b=2553 \times 2554 +1,c=(2553 \times 2554)(2553 \times 2554 +1)$
$a=2555,b=2553 \times 2554 ,c=2554 \times 2555$
...
�ǡ������§�Ѻ����¹��� a,b,c ���Ѻ ��·������ a+b+c ���¤�Ҥ�Ѻ
�����駢�͵����������Ѻ ��鹨Ѵ����
***��������������ABCD ��P�繨ش��ҧ����������� ���PA=29,PB=25,PC=17 ���Ҿ�鹷����Ф�����ǢͧPD
How to solve it ? :please:
�����Ը���¢ͧ�س��Banker������
$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6} $ �������$\frac{1}{2553} $�ٳ����ͧ��ҧ
����$\frac{1}{2553} =\frac{1}{2\times 2553}+\frac{1}{3\times 2553}+\frac{1}{6\times 2553} $
�ѧ���....$a+b+c= 11\times 2553$
�����駢�͵����������Ѻ ��鹨Ѵ����
***��������������ABCD ��P�繨ش��ҧ����������� ���PA=29,PB=25,PC=17 ���Ҿ�鹷����������������ABCD ��Ф�����ǢͧPD
�͵ͺ���������� $������Ǣͧ PD=\sqrt{505}$
�͵ͺ���������� $������Ǣͧ PD=\sqrt{505}$
��Һ�����ҧ�ä�Ѻ
�͵ͺ���������� $������Ǣͧ PD=\sqrt{505}$
���������ѹ�Դ ���Т����������Ф�Ѻ �����ʴ��ԸդԴ˹��¤�Ѻ :sweat::please:
***��������������ABCD ��P�繨ش��ҧ����������� ���PA=29,PB=25,PC=17 ���Ҿ�鹷������Ҥ�����ǢͧPD
��������������� ***
��Һ�����ҧ�ä�Ѻ
���������ѹ�Դ ���Т����������Ф�Ѻ �����ʴ��ԸդԴ˹��¤�Ѻ :sweat::please:
����ٻ��Ѻ
2787
�س Banker ��駢�͵�����¤�Ѻ :p
��ѧ�ҡ���⨷��㹹��仵����ҹ �ѧ�ֹ������ź��Ѻ
����Է����õ��⨷���Ѻ
������ҵͺ ��к͡���⨷�����Т���繫����ҧ��������硻�ж�����˹���ҵͺ ���������觡Ѻ�硤��ѡ��Ե������ :great::D:laugh:
��м��Ӵ����� �������� �� ����Ҿ�鹷�� ��ҹ�鹤�Ѻ :p
�Ͷ������ �ӵͺ �ѹ�Դ�ٴ ������ (���ǼԴ ����)
�Ͷ������ �ӵͺ �ѹ�Դ�ٴ ������ (���ǼԴ ����)
���Դ��Ѻ :):)
#24
�ͺ 1:4 ��Ѻ
���Ը������ٻ���
��������Դ�֧�Ф�Ѻ
�ҡ⨷����Ҩ������ ������Ǵ�ҹ�ͧ��������������繤��觹֧�ͧ�����������˭�
(���٨������ҡ)
�ҡ��鹨֧�������������������һ�ЪԴ����֧�ͧ�����������˭�
����ͧ��繤ӵͺ��Ѻ
#24
�ͺ 1:4 ��Ѻ
���Ը������ٻ���
:) �١��Ѻ
�ԭ��駢�͵�����¤�Ѻ :great::great:
�;ѡ����⨷�������� ��ҧ�Ф�Ѻ ����֡���⨷�����Т�ͨ��Թ �.���� �˹���
��¤�˹�觡�������
1.) �صâͧ�� 2 �� ����ռ���ᴧ �͡����ռ���ᴧ
2.) �صâͧ�� 2 �� ����ռ��մ� �͡����ռ��մ�
3.) �صâͧ�� 2 �� ����ռ��շͧ �͡����ռ��շͧ
��Һص����Ф��ռ���������ҹ��(�������ŷ�)
��¤�����պصá�褹
��м��Ӵ����� �������� �� ����Ҿ�鹷�� ��ҹ�鹤�Ѻ :p
����ͧ����������������Թ ��ж����� ��⨷���ͷ���������ٵ����ҧ˹��¤�Ѻ:please::please:
�;ѡ����⨷�������� ��ҧ�Ф�Ѻ ����֡���⨷�����Т�ͨ��Թ �.���� �˹���
��¤�˹�觡�������
1.) �صâͧ�� 2 �� ����ռ���ᴧ �͡����ռ���ᴧ
2.) �صâͧ�� 2 �� ����ռ��մ� �͡����ռ��մ�
3.) �صâͧ�� 2 �� ����ռ��շͧ �͡����ռ��շͧ
��Һص����Ф��ռ���������ҹ��(�������ŷ�)
��¤�����պصá�褹
�ͺ 3 ��Ѻ ᴧ 1, �� 1 , �ͧ 1
��Ҷ١��͵�駵�͵�����
���������� ABC ����� B ������ҡ AB=8 ,BC = 6 �ش D �繨ش����ҹ AB �ҡ��鹵�駩ҡ�ҡ�ش D 仵Ѵ AC ���ش E , DE=3 ���Ҥ������ AD,AE
��Ҷ١��͵�駵�͵�����
���������� ABC ����� B ������ҡ AB=8 ,BC = 6 �ش D �繨ش����ҹ AB �ҡ��鹵�駩ҡ�ҡ�ش D 仵Ѵ AC ���ش E , DE=3 ���Ҥ������ AD,AE
�Ըҡ���ʺ͡ AC = 10
����������ADE ����� ABC
DE �繤���˹�觢ͧ BC
�ѧ��� D �觤��� AB ��� E �觤��� AC
AD = DB = 4, AE = EC = 5
����Է�����⨷��
�ͺ 3 ��Ѻ ᴧ 1, �� 1 , �ͧ 1
��Ҷ١��͵�駵�͵�����
���������� ABC ����� B ������ҡ AB=8 ,BC = 6 �ش D �繨ش����ҹ AB �ҡ��鹵�駩ҡ�ҡ�ش D 仵Ѵ AC ���ش E , DE=3 ���Ҥ������ AD,AE
�س���ѡ��Ե��������ʴ��ԸդԴ���¹Ф�Ѻ:tired:
�����������Ѻ:)
���������� abcd ������������ �ѵ����
Af=fc ��鹷��ͧ ���������� BFE = 12 �� ˹��� ��鹷��ͧ ���������� abcd ��ҡѺ�����
�.�. ����ѡ�â�ҧ��ҧ �����ҧ c ,d ��� E �Ф�Ѻ
:)��鹼�����ͧ��
//www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2788&d=1268911514
Ẻ��� ����Ẻ��ж��������Ѻ
�Ѻ�������������Ṻ���ع����������������
2790
�����������Ѻ:)
���������� abcd ������������ �ѵ����
Af=fd ��鹷��ͧ ���������� BFE = 12 �� ˹��� ��鹷��ͧ ���������� abcd ��ҡѺ�����
�.�. ����ѡ�â�ҧ��ҧ �����ҧ c ,d ��� E �Ф�Ѻ
������ѹ⨷��ç��ᴧ˹��¤�Ѻ
AF = FD ���� AF=FC
�;ѡ����⨷�������� ��ҧ�Ф�Ѻ ����֡���⨷�����Т�ͨ��Թ �.���� �˹���
��¤�˹�觡�������
1.) �صâͧ�� 2 �� ����ռ���ᴧ �͡����ռ���ᴧ
2.) �صâͧ�� 2 �� ����ռ��մ� �͡����ռ��մ�
3.) �صâͧ�� 2 �� ����ռ��շͧ �͡����ռ��շͧ
��Һص����Ф��ռ���������ҹ��(�������ŷ�)
��¤�����պصá�褹
�س���ѡ��Ե��������ʴ��ԸդԴ���¹Ф�Ѻ:tired:
��ᴧ + ���� + ���ͧ = �ص÷����� ---- 1
�ص÷����� - 2 = ��ᴧ ----------------- 2
�ص÷����� - 2 = ���� ----------------- 3
�ص÷����� - 2 = ���ͧ ----------------- 4
2 + 3 + 4 :
3x�ص÷����� - 6 = ��ᴧ + ���� + ���ͧ
3x�ص÷����� - 6 = �ص÷�����
2x�ص÷����� = 6
�ص÷����� = 3
�����駢�͵����������Ѻ ��鹨Ѵ����
***��������������ABCD ��P�繨ش��ҧ����������� ���PA=29,PB=25,PC=17 ���Ҿ�鹷����Ф�����ǢͧPD
⨷���ѧ���������...�ѧ��ҧ����ͧ��鹷������������
����ͤ��觤Դ����ҡѺ1008
������ٵ���...��ͧ����Ҩӹǹ��� ����������᷹�
���ҧ$29^2=21^2+20^2$
����Ҥ��$20$���$21$��Ҵ���Ҩ��դ���˹�������ѹ��Ѻ$25^2$
�����$25^2=20^2+15^2$.....��Ҥ��$15$������������ѹ��Ѻ$17$���ҧ��
�����$17^2=15^2+8^2$
����Ӿ�鹷����ҡѺ $36\times 28 =1008$
�ʹѴ�ŧ�ٻ�ҡ�س��Banker
//learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/Math/rectan01.jpg
������ѹ⨷��ç��ᴧ˹��¤�Ѻ
AF = FD ���� AF=FC
fc ��Ѻ ��Ҿ����Դ��Ѻ
�����·����ѧ��Ѻ
Ẻ��� ����Ẻ��ж��������Ѻ
�Ѻ�������������Ṻ���ع����������������
2790
�ش�ʹ������ ���¤�Ѻ �س BANKER
������ͧ�ٻ��駹ҹ�Դ��� �ѹ��ͧ�����ë��������
�Դ令Դ��������Ը������ٻ
�����Ը���ع���� ���¡������� ����ͧ���٨�����÷�駹��
�ش�ʹ�Դ�������:great::please:
�д�չ��Թ���觾��ҹ��¤�Ѻ:died:
(�繤�������֡����ѡ�Դ�����������Ը���⨷�������Ф�Ѻ):D
��ᴧ + ���� + ���ͧ = �ص÷����� ---- 1
�ص÷����� - 2 = ��ᴧ ----------------- 2
�ص÷����� - 2 = ���� ----------------- 3
�ص÷����� - 2 = ���ͧ ----------------- 4
2 + 3 + 4 :
3x�ص÷����� - 6 = ��ᴧ + ���� + ���ͧ
3x�ص÷����� - 6 = �ص÷�����
2x�ص÷����� = 6
�ص÷����� = 3
�ʴ���Һص÷������� �繺صä�������������Ѻ�س�Ե��
(����ǹ��ѧ�������) :haha:
��ᴧ + ���� + ���ͧ = �ص÷����� ---- 1
�ص÷����� - 2 = ��ᴧ ----------------- 2
�ص÷����� - 2 = ���� ----------------- 3
�ص÷����� - 2 = ���ͧ ----------------- 4
2 + 3 + 4 :
3x�ص÷����� - 6 = ��ᴧ + ���� + ���ͧ
3x�ص÷����� - 6 = �ص÷�����
2x�ص÷����� = 6
�ص÷����� = 3
�ʴ���Һص÷������� �繺صä�������������Ѻ�س�Ե��
(����ǹ��ѧ�������) :haha:
��ԧ���¤�Ѻ....�Ըա���ͧ⨷��ͧ�س��Banker....��Ң������ҳ�����Ҿ ���ط��֧�͡��������㨻��ö��
�ͺ�س��Ѻ...���Ԥ���١��Ѻ
��ԧ���¤�Ѻ....�Ըա���ͧ⨷��ͧ�س��Banker....��Ң������ҳ�����Ҿ ���ط��֧�͡��������㨻��ö��
�ͺ�س��Ѻ...���Ԥ���١��Ѻ
�س��Banker ���ҡ��ԧ���Ѻ:):please:
���е�������¤�Ѻ
���Ҫ��ҡ �������������� :haha:
�����������Ѻ:)
���������� abcd ������������ �ѵ����
Af=fc ��鹷��ͧ ���������� BFE = 12 �� ˹��� ��鹷��ͧ ���������� abcd ��ҡѺ�����
�.�. ����ѡ�â�ҧ��ҧ �����ҧ c ,d ��� E �Ф�Ѻ
2791
����ٻ��Ѻ
$♫ = (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 = \frac{1}{4}♫ + \frac{1}{2}\cdot \frac{x(x+y)}{2} + \frac{1}{2}\cdot {y(x+y)}+ 12$
$4♫ = ♫ + (x^2+xy)+(2y^2 + 2xy) + 48$
$4♫ = ♫ + (x^2+2xy+y^2) +(y^2 + xy) + 48$
$4♫ = ♫ + ♫ +(y^2 + xy) + 48$
$2♫ = (y^2 + xy) + 48$
$♫ = 2(����������BED) + 24$
���Ǩ���ѧ䧵������
.
.
仵����ҹ�� ����Ǣ�����令Դ�Ը���蹵�� :haha:
��ѧ�ҡ仹�觴����� �����⨷����� ��ҨТҴ�����źҧ���ҧ
���ж����������ش E 价ҧ D
��Ҩ�������������ABCD = 24 ���ҧ˹��µ���ٻ
2792
��Ҩ��ա�˹�����������ա
�Ҵ��ա�� ������� E 价Ѻ C
�������������� ABCD �վ�鹷�� 48 ���ҧ˹���
��Ң��������� ����ػ����� $24\leqslant ♫ ABCD \leqslant 48$
����ͧ����������������Թ ��ж����� ��⨷���ͷ���������ٵ����ҧ˹��¤�Ѻ:please::please:
2793
:)���������¡��ͧ (�Թ�ç ��鹷������������ �Ф�Ѻ :happy:)
��ѧ�ҡ仹�觴����� �����⨷����� ��ҨТҴ�����źҧ���ҧ
���ж����������ش E 价ҧ D
��Ҩ�������������ABCD = 24 ���ҧ˹��µ���ٻ
2792
��Ҩ��ա�˹�����������ա
����ҡ��� FD ����ҡѺ BF
�.�. �����������Ѻ
�ѹ��º
���Ҥ�� n ����� n �繨ӹǹ����ǡ������� $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=8$
//www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2793
:)���������¡��ͧ (�Թ�ç ��鹷������������ �Ф�Ѻ :happy:)
������������ա�Դ ���ͪ���������㨡�������������¢��
����觤������ ��� ��鹵ç����ҡ��ҹ�ش�ʹ ���������͡�繤���˹�� ����觤�������������еѴ�ѹ���ش���� ��� �ش�ٹ���ҧ�ͧǧ���Ṻ㹢ͧ�ٻ����������
����Ѹ°ҹ�ͧ�ٻ���������� ��� ��鹵ç����ҡ��ҹ�ش�ʹ��Шش��觡�ҧ�ͧ��ҹ�ç���� ��觨����ٻ�����������͡�繾�鹷������ҡѹ ����Ѹ°ҹ�������еѴ�ѹ���ش���� ��� ૹ���´� (centroid) �ͧ�ٻ���������� �ش�������ٹ���ǧ (center of gravity) �ͧ�ٻ�������������� ૹ���´��������Ѹ°ҹ�����ѵ����ǹ 2:1 ��蹤�����зҧ�����ҧ�ش�ʹ�Ѻૹ���´� �����ͧ��Ңͧ���зҧ�����ҧૹ���´�Ѻ�ش��觡�ҧ�ͧ��ҹ�ç����
����ҡ��� FD ����ҡѺ BF
�.�. �����������Ѻ
F �繨ش�����ҧ AB
FD = FB �������Ǥ�Ѻ
����
��� FD = FB �з���� F �觤��� AB ��������
�֧����ͧ��˹�
���ѹ��п��ͧ��Ѻ ���⨷������� ��Ѻ
��鹼���˹���� e �繨ش��觡�ҧ�ͧ cd
�ѹ��º
���Ҥ�� n ����� n �繨ӹǹ����ǡ������� $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=8$
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=8$
$ = (\frac{1}{1+\sqrt{2}} \times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} )
+(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2} -\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} )
+(\frac{1}{\sqrt{4} +\sqrt{5} } \times \frac{\sqrt{4} -\sqrt{5} }{\sqrt{4} -\sqrt{5} })
+... + (\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}) \times \frac{\sqrt{n} -\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}} =8$
$= -(1-\sqrt{2} )-(\sqrt{2} -\sqrt{3} )-(\sqrt{3} -\sqrt{4} )- .... - (\sqrt{n} -\sqrt{n+1} ) = 8 $
$\sqrt{n+1} -1 =8 $
$n+1 = 81$
$n=80$
����Է�����⨷���Ѻ
���ѹ��п��ͧ��Ѻ ���⨷������� ��Ѻ
��鹼���˹���� e �繨ش��觡�ҧ�ͧ cd
2794
ABCD = 32 ���ҧ˹���
2793
:)���������¡��ͧ (�Թ�ç ��鹷������������ �Ф�Ѻ :happy:)
��鹡�ж��������¡��ͧ �ç�˹��ҧ�������Թ��ѡ�ٵû�ж������Ф�Ѻ ��������鹷������������ �� �� r �ҡ�ٵ÷����������ҧ���ͧԺ�´٫Ԥ�Ѻ ����Ժ��Ẻ ʷ�. ���Ժ������ͧ ���絹� ����鹨ж١�ѹ��ɰҹ������Ҩҡ������ǡѹ�Ф�Ѻ ����Ǩ���������͡:p:D:laugh:
������⨷�������ռ�������¤ӵͺ���Ը���ع�ٻ����������Ըշ����� ��Ф����ѡ�зӡѹ ����ͧ���������Թ��ѡ�ٵû�ж����·�����Ժ����������� 3 �ͧ�����������ٻ��硷�������ǧ����繵��˹����ǡѹ�Ѻ�����������ٻ�˭���������ǧ���
�ҡ�繢�ͤԴ
1. ��á��§�����������⨷�����駵�ͧ�� ��. �ոҡ���� ��е���ҡ���⨷������� ����ͧ�����ǵ�ͧ���������Թ �.���� ��觶�������ҧ��鹨��� ��з��ͧ �.���������� ��仵������� ��з�� �.�鹡��� �ա���ҧ���������Ե�������������֡���� ����⨷�����ҧ��� ����ѭ˹մս�� ਵ��������ͧ��÷��������騹 ���§����ҡ�������º�ä����ҧ ������ѹ��������µ�ҷ��ѹ��觤�ҧ�����ѹ���� :D
2. ��������⨷����˹����ҷ��������ж� ���������¤������⨷��������������ж�㹡�÷� ���蹹�鹤�������������ж���⨷����鹨С����繤���㹷ѹ��
������繢ͧ�س��Թ��ҧ�繻���繷���Ң��Դ��Ѻ....�ѹ���Դ����١��¨�⨷��价ӡ�����֡��Һ���ҷ������ ���������Թ������¹
�繸����ҷ���դ����¡������ҡ�дѺ������� ��§���������������ѧ��ä��š����¹������ҡ����觡�����¹������������ҷáѹ
���⨷�����˹�ҡ��ԧ ��Ҫԡ��ҹ�˹�����ҡ����ʴ��ǤԴẺ�����´���Ҩ��ʺ͡�ѹ�� �š����¹�ѹ �����ǤԴ��蹷��ͺ⨷���������ѹ����������ѹ ���¡ѹᵡᢹ�������� �ѹ�������ҹ�Ҩҡ����˹����Һ��Ҷ�����ҡ�سgon��س���(switchgear)���͡�������µ������ ���������⨷�줳Ե��ʵ�� �ҧ�բ������������Ըյͺ仵��5-6�Ը�
��繴��¡Ѻ�ء������繷���ͧ��þѲ���ǻ���բ��...�����������ª��
�����ҧ�������ǡѹ
��鹵ç y=2x+1 �Ѻ��鹵ç y=x �Ѵ�ѹ���ش�
�����ҧ�������ǡѹ
��鹵ç y=2x+1 �Ѻ��鹵ç y=x �Ѵ�ѹ���ش�
���ش (x,y) = (-1,-1) :p
����ͧ�Ţ¡���ѧ��Ѻ �ͧ�٤�Ѻ (�������ҡ �����ͧ�͡����¹Դ���Ǥ�Ѻ)
2798
����ͧ�Ţ¡���ѧ��Ѻ �ͧ�٤�Ѻ (�������ҡ �����ͧ�͡����¹Դ���Ǥ�Ѻ)
//www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2798
$(1-a^{\frac{1}{32}})(1+a^{\frac{1}{32}})$ = $1-a^{\frac{1}{16}}$ �����ҧ����������� ����ӵͺ $1-a^2$
����Է�����⨷��
ʵ�͡⨷������������ :sweat:
�ա��ͧ�Թ��� 2 ��Դ ��Դa�٧���ͧ�� 1 ��. ��Ъ�Դ b�٧���ͧ�� 2 ��. ���Ҩӹǹ�Ը�㹡������ͧ����ͧ��Դ���ѹ����٧ 10��.
ʵ�͡⨷������������ :sweat:
�ա��ͧ�Թ��� 2 ��Դ ��Դa�٧���ͧ�� 1 ��. ��Ъ�Դ b�٧���ͧ�� 2 ��. ���Ҩӹǹ�Ը�㹡������ͧ����ͧ��Դ���ѹ����٧ 10��.
4�����Ҥ�Ѻ
����ͧ�Ţ¡���ѧ��Ѻ �ͧ�٤�Ѻ (�������ҡ �����ͧ�͡����¹Դ���Ǥ�Ѻ)
//www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2798&d=1269053101
���ԸաԹ�������� Ẻ�����ҡ�� :D
$(1-a^{\frac{1}{32}})(1+a^{\frac{1}{32}})......$
$(1-a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{16}})......$
$(1-a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{8}})......$
$(1-a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{4}})......$
$(1-a^{\frac{1}{2}})(1+a^{\frac{1}{2}})......$
$(1-a)(1+a)$
$1-a^2$
��⨷��仵����ҹ�ա���� :haha:
���ԸաԹ�������� Ẻ�����ҡ�� :D
$(1-a^{\frac{1}{32}})(1+a^{\frac{1}{32}})......$
$(1-a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{16}})......$
$(1-a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{8}})......$
$(1-a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{4}})......$
$(1-a^{\frac{1}{2}})(1+a^{\frac{1}{2}})......$
$(1-a)(1+a)$
$1-a^2$
��⨷��仵����ҹ�ա���� :haha:
���ɷ��ú�ǹ��Ѻ
���ͧ����͡��ԧ���Ѻ:please:
ʵ�͡⨷������������ :sweat:
�ա��ͧ�Թ��� 2 ��Դ ��Դa�٧���ͧ�� 1 ��. ��Ъ�Դ b�٧���ͧ�� 2 ��. ���Ҩӹǹ�Ը�㹡������ͧ����ͧ��Դ���ѹ����٧ 10��.
����ҳ���
a a a a a a a a b
a a a a a a b b
a a a a b b b
a a b b b b
a a b a a a a a a
a a b b a a a a
a a b b b a a
a a b a a b a a
a a b a a b b
a a b b a a b
b a a a a a a a a
b b a a a a a a
b b b a a a a
b b b b a a
b a a a a a a b
b a a a a b b
b a a b b b
b a a b a a b
ʵ�͡⨷������������ :sweat:
�ա��ͧ�Թ��� 2 ��Դ ��Դa�٧���ͧ�� 1 ��. ��Ъ�Դ b�٧���ͧ�� 2 ��. ���Ҩӹǹ�Ը�㹡������ͧ����ͧ��Դ���ѹ����٧ 10��.
⨷�����Ҩ������§⨷���鹺ѹ�10��� �¢�鹷��� 1��鹡Ѻ���� 2���
���� 1��� 1111111111 �� 1 �Ը�
���� 111111112 �� 9 �Ը�
���� 11111122 �� 7+6+5+4+3+2+1 = 28 �Ը�
���� 1111222 �� 6+5+4+3+2+1 = 21 �Ը�
���� 112222 �� 5+4+3+2+1 = 15
���� 22222 �� 1 �Ը�
��� 1+9+28+21+15+1 = 75 �Ը�
�١������� ... ⨷���ǹ����趹Ѵ�д���
A ��¢ͧ���˹����� B ����� 20% ����� A �Դ���´�� �֧�ͫ��͡�Ѻ �� B �Դ���� 20% �����ѧ A �ӡ�Ѻ仢����� B �ա������Ҥ� 5760 �ҷ ��觢Ҵ�ع 20% �ͧ�Ҥҷ������Ҩҡ B ��ҡ��Һ��ҡ�â�·���ͧ���駢ͧ A ��������͢Ҵ�ع���ҷ
�����س�ا�������ҹ�ա���˹�觤�Ѻ �����ҹ��ʹ㨴դ�Ѻ :)
2800
���ɷ��ú�ǹ��Ѻ
���ͧ����͡��ԧ���Ѻ:please:
$(1-a^{\frac{1}{32}})(1+a^{\frac{1}{32}})$ $(1+a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$
$(1^2 -a^{\frac{1}{32}+\frac{1}{32}})$$(1+a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$
$(1-a^{\frac{1}{16}})$ $(1+a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$
$(1-a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{16}})$ $(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$
$(1^2 -a^{\frac{1}{16}+\frac{1}{16}})$ $(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$
$(1-a^{\frac{1}{8}})$ $(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$
�ӵ���������������Ѻ
A ��¢ͧ���˹����� B ����� 20% ����� A �Դ���´�� �֧�ͫ��͡�Ѻ �� B �Դ���� 20% �����ѧ A �ӡ�Ѻ仢����� B �ա������Ҥ� 5760 �ҷ ��觢Ҵ�ع 20% �ͧ�Ҥҷ������Ҩҡ B ��ҡ��Һ��ҡ�â�·���ͧ���駢ͧ A ��������͢Ҵ�ع���ҷ
���ѧ�Դ��ҨзӨҡ˹�����ѧ ���ͨҡ��ѧ����˹�Ҵ� Ẻ�˹���㨧��¡��ҡѹ
���Ẻ����Ѻ�����ǡѹ �յ���Ţ�Թ�ҷ���� ��Ҩ���繧��¡���
�����ѧ A �ӡ�Ѻ仢����� B �ա������Ҥ� 5760 �ҷ ��觢Ҵ�ع 20% �ͧ�Ҥҷ������Ҩҡ B
��ŧ��ҷع�ҡ��â�¤��駹���� $\frac{100}{80} \times 5760 = 7200 $ �ҷ
$7200$ �ҷ ���Ҥҷ����ͨҡ B ��� B �Դ���� 20%
�ѧ��鹷ع�ͧ B ��� $\frac{100}{120} \times 7200 = 6000 $ �ҷ
$6000$ �ҷ ����Ҥҷ�� B ���ͨҡ A 㹵�á ���㹤��駹�� A �Դ���� 20 %
�ѧ��鹷ع�ͧ A ��� $\frac{100}{120} \times 6000 = 5000 $ �ҷ
��ػ A ������ 5000 �ҷ �ش�������Թ�� 5760 �ҷ �֧�ѧ���� 760 �ҷ <--��÷Ѵ�����ػ�Դ
���١���
�����Ҥ����á 5000 �������� 1000
������ѧ������ 7200 ��� 5760 �Ҵ�ع 1440
����ͧ���駨֧�Ҵ�ع 400 �ҷ
(�ͺ�س�سJSompis�����·ѡ��ǧ)
�����س�ا�������ҹ�ա���˹�觤�Ѻ �����ҹ��ʹ㨴դ�Ѻ :)
//www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2800&d=1269072579
⨷��Ẻ����ѧ�������ҵ����ҹ��Ѻ
⨷����е����ҹ��������һ�ж� �����յ�����ͧ�Ҷ֧�Ѹ��
����Ѻ���� �ͺ 1
���������Ըշ������
$\left(a^{\frac{x+y}{y-z}}\right)^{\frac{1}{z-x}} \times
\left(a^{\frac{y+z}{z-x}}\right)^{\frac{1}{x-y}} \times
\left(a^{\frac{z+x}{x-y}}\right)^{\frac{1}{y-z}}$
$= a^{\frac{x+y}{y-z}\cdot \frac{1}{z-x} + \frac{y+z}{z-x}\cdot \frac{1}{x-y} + \frac{z+x}{x-y}\cdot \frac{1}{y-z}}$
$= a^{\frac{(x+y)(x-y)+(y+z)(y-z) + (z+x)(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}}$
$= a^{\frac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{(x-y)(y-z)(z-x)}}$
$= a^0$
$=1$
⨷��Ẻ����ѧ�������ҵ����ҹ��Ѻ
⨷����е����ҹ��������һ�ж� �����յ�����ͧ�Ҷ֧�Ѹ��
����Ѻ���� �ͺ 1
���������Ըշ������
�����繢���ͺ��� �1. �ç���¹��鹹����˹�觤�Ѻ
�����ҡ�Թ� �Ѵ����ͷ����µ������Ѻ
���� �.�.�. �ͧ 0.2 , 0.3 ��� 0.5 ? :)
���� �.�.�. �ͧ 0.2 , 0.3 ��� 0.5 ?
�ù . �ͧ$1/5,3/10,1/2$ >> 3
�����繢���ͺ��� �1. �ç���¹��鹹����˹�觤�Ѻ
�����ҡ�Թ� �Ѵ����ͷ����µ������Ѻ
���� �.�.�. �ͧ 0.2 , 0.3 ��� 0.5 ? :)
Ẻ�������·Ӥ�Ѻ
����ء������Ẻ����·�
���� �.�.�. �ͧ $\frac{2}{10}, \frac{3}{10}, $ ��� $ \frac{5}{10}$
�.�.� �ͧ��� ��� 30
�.�.� �ͧ��ǹ��� 10
�ѧ��� �.�.�. �ͧ $\frac{2}{10}, \frac{3}{10}, $ ��� $ \frac{5}{10}$ ��� 3
���ͧ�ͺ���� �ͺ���� �.�.�. �ͧ 0.2 , 0.3 ��� 0.5 ��� 3
������١��������
����Ẻ�ȹ���������� �.�.� �ѹ�ѧ䧤�Ѻ
Ẻ�������·Ӥ�Ѻ
����ء������Ẻ����·�
���� �.�.�. �ͧ $\frac{2}{10}, \frac{3}{10}, $ ��� $ \frac{5}{10}$
�.�.� �ͧ��� ��� 30
�.�.� �ͧ��ǹ��� 10
�ѧ��� �.�.�. �ͧ $\frac{2}{10}, \frac{3}{10}, $ ��� $ \frac{5}{10}$ ��� 3
���ͧ�ͺ���� �ͺ���� �.�.�. �ͧ 0.2 , 0.3 ��� 0.5 ��� 3
������١��������
����Ẻ�ȹ���������� �.�.� �ѹ�ѧ䧤�Ѻ
����� ���������ǹ�� ��������¤�Ѻ :):)
��駵����� ��Ѻ ����ҡ�� part �â��Ф�Ѻ
Ẻ�������·Ӥ�Ѻ
����ء������Ẻ����·�
���� �.�.�. �ͧ $\frac{2}{10}, \frac{3}{10}, $ ��� $ \frac{5}{10}$
�.�.� �ͧ��� ��� 30
�.�.� �ͧ��ǹ��� 10
�ѧ��� �.�.�. �ͧ $\frac{2}{10}, \frac{3}{10}, $ ��� $ \frac{5}{10}$ ��� 3
���ͧ�ͺ���� �ͺ���� �.�.�. �ͧ 0.2 , 0.3 ��� 0.5 ��� 3
������١��������
����Ẻ�ȹ���������� �.�.� �ѹ�ѧ䧤�Ѻ
�س�ا Banker ��Ѻ Ẻ���س�ا�ӡѺẺ�ռ��ӡ������ѹ����Ф�Ѻ
��Ф�ҷ��⨷���˹���� 0.2 = 2/10 , 0.3 = 3/10 ��� 5/10 ����ͧ��Ф�Ѻ
��ж�Ҿ�⨷���ѡɳй�� �����ٵù������Ѻ
............�.�.�. �ͧ�����ǹ = (�.�.�. �ͧ���) / ( �.�.�. �ͧ��ǹ)
���� �.�.�. �ͧ 0.2 , 0.3 ��� 0.5 ?
�ù . �ͧ$1/5,3/10,1/2$ >> 3
�س���ѡ��Ե��Ѻ �ӵͺ��� 3 ��Ѻ
����ͧ���·���ʴ���� >> ���¶֧���ä�Ѻ ?
$(1-a^{\frac{1}{32}})(1+a^{\frac{1}{32}})$ $(1+a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$
$(1^2 -a^{\frac{1}{32}+\frac{1}{32}})$$(1+a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$
$(1-a^{\frac{1}{16}})$ $(1+a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$
$(1-a^{\frac{1}{16}})(1+a^{\frac{1}{16}})$ $(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$
$(1^2 -a^{\frac{1}{16}+\frac{1}{16}})$ $(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$
$(1-a^{\frac{1}{8}})$ $(1+a^{\frac{1}{8}})(1+a^{\frac{1}{4}})(1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^1)$
�ӵ���������������Ѻ
����.....�����Ǥ�Ѻ$\ll$ �ͺ�س��Ѻ
����.....�����Ǥ�Ѻ
�س����ҡ�� �ͧ�֡������ͧ "�ŵ�ҧ���ѧ�ͧ" �������Ф�Ѻ ���Ǩ�������բ��
1^2 -X^2 = (1-X)(1+X)
�ͧ������º��º�Ѻ��͢�ҧ���� �з������������¢��
��.) ���Ѻ���ǧ��纨ҡ����仢�� ����Ф�� :p
�س����ҡ�� �ͧ�֡������ͧ "�ŵ�ҧ���ѧ�ͧ" �������Ф�Ѻ ���Ǩ�������բ��
1^2 -X^2 = (1-X)(1+X)
�ͧ������º��º�Ѻ��͢�ҧ���� �з������������¢��
��.) ���Ѻ���ǧ��纨ҡ����仢�� ����Ф�� :p
����ѧ��������� ��Ѻ �ٵþ�ع�� ���Ҩ�ռԴ仺�ҧ:laugh:
��ǧ�Ӷ������ɳ� (���ͼ����������� �������Թ˹�ҷ�⨷���͵��令�Ѻ)
2801
⨷�����������
����١�觷�������ѹ�ء��С�� 2 �١ ������١ A ����բ�Ҵ��硡����١ B ���ǹ��١�觷���ͧ�������Ѻ���·�ʹѧ�ٻ��ҧ��
������ ����Դ������������ҹ����� (���м�ҹ�ҡ�١��˹����ѧ�ա�١˹�������ҧ�����) ���·���ش���Ǩ�����Ѿ�������ҧ��
�) �١�� A ���բ�Ҵ��ҡѺ�١�� B
�) �١�� A ���բ�Ҵ�˭�����١��� B
�) �١�� B ���բ�Ҵ�˭�����١��� A
��ǧ�Ӷ������ɳ� (���ͼ����������� �������Թ˹�ҷ�⨷���͵��令�Ѻ)
2801
⨷�����������
����١�觷�������ѹ�ء��С�� 2 �١ ������١ A ����բ�Ҵ��硡����١ B ���ǹ��١�觷���ͧ�������Ѻ���·�ʹѧ�ٻ��ҧ��
������ ����Դ������������ҹ����� (���м�ҹ�ҡ�١��˹����ѧ�ա�١˹�������ҧ�����) ���·���ش���Ǩ�����Ѿ�������ҧ��
�) �١�� A ���բ�Ҵ��ҡѺ�١�� B
�) �١�� A ���բ�Ҵ�˭�����١��� B
�) �١�� B ���բ�Ҵ�˭�����١��� A
�������ë���������������ҹ����� ...
��ҵç仵ç�� �ѹ����������дѺ��ӷ�����дѺ��ҡѹ �ѧ��� ����ͧ�١���Ҩ���ҡѹ �١�� A ���բ�Ҵ��ҡѺ�١�� B
�������ë���������������ҹ����� ...
��ҵç仵ç�� �ѹ����������дѺ��ӷ�����дѺ��ҡѹ �ѧ��� ����ͧ�١���Ҩ���ҡѹ �١�� A ���բ�Ҵ��ҡѺ�١�� B
���¹ �س�ا Banker ��Ѻ ⨷�����������ͧ�ͧ�Է����ʵ����ǹ� ��Ѻ ��������ë������ ��ѧ��鹤�Ѻ ����ö��价��ͧ���Ѻ ��ͼ���⨷���������� �������������㨢���稨�ԧ�ҧ�Է����ʵ���������ͧ�������Ե ���¤����繨�ԧ ���кҧ��觷���ҤԴ ������ԧ�Ҩ����������ҧ��鹤�Ѻ :)
���ѧ�Դ��ҨзӨҡ˹�����ѧ ���ͨҡ��ѧ����˹�Ҵ� Ẻ�˹���㨧��¡��ҡѹ
���Ẻ����Ѻ�����ǡѹ �յ���Ţ�Թ�ҷ���� ��Ҩ���繧��¡���
�����ѧ A �ӡ�Ѻ仢����� B �ա������Ҥ� 5760 �ҷ ��觢Ҵ�ع 20% �ͧ�Ҥҷ������Ҩҡ B
��ŧ��ҷع�ҡ��â�¤��駹���� $\frac{100}{80} \times 5760 = 7200 $ �ҷ
$7200$ �ҷ ���Ҥҷ����ͨҡ B ��� B �Դ���� 20%
�ѧ��鹷ع�ͧ B ��� $\frac{100}{120} \times 7200 = 6000 $ �ҷ
$6000$ �ҷ ����Ҥҷ�� B ���ͨҡ A 㹵�á ���㹤��駹�� A �Դ���� 20 %
�ѧ��鹷ع�ͧ A ��� $\frac{100}{120} \times 6000 = 5000 $ �ҷ
��ػ A ������ 5000 �ҷ �ش�������Թ�� 5760 �ҷ �֧�ѧ���� 760 �ҷ
���������Ҩж١
�Ҥҫ���
����ͤ����á $5000$
���͡�Ѻ�ҡ B $7200$
��� $12200$
�ҤҢ��
������ B �á $6000$
������ B ����2 $5760$
��� $11760$
���Щй�鹢Ҵ�ع $12200-11760 = 440$
�������ë���������������ҹ����� ...
��ҵç仵ç�� �ѹ����������дѺ��ӷ�����дѺ��ҡѹ �ѧ��� ����ͧ�١���Ҩ���ҡѹ �١�� A ���բ�Ҵ��ҡѺ�١�� B
���١��Ѻ ��ԧ���� �Ҩ���� Tanat:p:p:p
���١��Ѻ ��ԧ���� �Ҩ���� Tanat:p:p:p
��.�.... �١��ͧ��Ѻ �����Թ��ҧ :p (�ӵͺ�ͧ�س�ا�ѧ���١��Ѻ)
���������Ҩж١
�Ҥҫ���
����ͤ����á $5000$
���͡�Ѻ�ҡ B $7200$
��� $12200$
�ҤҢ��
������ B �á $6000$
������ B ����2 $5760$
��� $11760$
���Щй�鹢Ҵ�ع $12200-11760 = 440$
�سJSompis�١���Ǥ�Ѻ
�������ٵ鹡Ѻ���� �������鹵��ѡ�Թ��ǧ��ҧ
��ػ��¤����á ���� 1000 �ҷ
��¤��駷���ͧ�Ҵ�ع 1440 �ҷ
�֧����Ҵ�ع 440 �ҷ
���Ҽ��Ѿ��
$$\sqrt{1+\dfrac{1}{80^2}+\frac{1}{81^2}}$$
���Ҽ��Ѿ��
$$\sqrt{1+\dfrac{1}{80^2}+\frac{1}{81^2}}$$
$\sqrt{1+\frac{1}{80^2}+\frac{1}{81^2}}=\sqrt{\frac{80^{2}81^2+81^2+80^2}{80^{2}81^2}}$
$=\sqrt{\frac{80^{2}(80+1)^2+81^2+80^2}{80^{2}81^2}}$
$=\sqrt{\frac{80^{2}(80^2+2(80)+1)+81^2+80^2}{80^{2}81^2}}$
$=\sqrt{\frac{80^4+2(80)(80^2)+80^2+81^2+80^2}{80^{2}81^2}}$
$=\sqrt{\frac{80^4+2(80)(80^2)+2(80^2)+81^2}{80^{2}81^2}}$
$=\sqrt{\frac{80^4+2(80^2)(80+1)+81^2}{80^{2}81^2}}$
$=\sqrt{\frac{80^4+2(80^2)(81)+81^2}{80^{2}81^2}}$
$=\sqrt{\frac{(80^2+81)^2}{80^{2}81^2}}$
$=\frac{80^2+81}{(80)(81)}$
$=\frac{6481}{6480}$ :wacko:
���� A,B,C ����Դ�ӧҹ������ѹ ��Ө�����ѧ����� 6 ������� �������� A,B,C �ӧҹ� 2 ����������ǻԴ��� C �ҡ�������� A,B �ӧҹ���� ��Ө�����ѧ����� 7 ������� �����Ҷ������� C �ӧҹ������� ��Ө�����ѧ����ҡ��������
⨷�����Ҩ������§⨷���鹺ѹ�10��� �¢�鹷��� 1��鹡Ѻ���� 2���
���� 1��� 1111111111 �� 1 �Ը�
���� 111111112 �� 9 �Ը�
���� 11111122 �� 7+6+5+4+3+2+1 = 28 �Ը�
���� 1111222 �� 6+5+4+3+2+1 = 21 �Ը�
���� 112222 �� 5+4+3+2+1 = 15
���� 22222 �� 1 �Ը�
��� 1+9+28+21+15+1 = 75 �Ը�
�١������� ... ⨷���ǹ����趹Ѵ�д���
�ѧ���١�Ф�Ѻ
���� A,B,C ����Դ�ӧҹ������ѹ ��Ө�����ѧ����� 6 ������� �������� A,B,C �ӧҹ� 2 ������� ���ǻԴ��� C �ҡ�������� A,B �ӧҹ���� ��Ө�����ѧ����� 7 ������� �����Ҷ������� C �ӧҹ������� ��Ө�����ѧ����ҡ��������
⨷���������
�����Ҷ������� C �ӧҹ������� ��Ө�����ѧ����ҡ�������� <--- ������ �ѧ����� ����Դ��� C ������ǵ����� ��������������
�������Ѻ
�Ըշ�
���� A,B,C ����Դ�ӧҹ������ѹ ��Ө�����ѧ����� 6 �������
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{6}$ .....(1)
�������� A,B,C �ӧҹ� 2 ������� �������ͧҹ $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
���ͧҹ $\frac{2}{3}$ �ͧ�ҹ
�Դ��� C �ҡ�������� A,B �ӧҹ���� ��Ө�����ѧ����� 7 �������
7 ������� A+B ��ҹ $\frac{2}{3}$
1 ������� A+B ��ҹ $\frac{2}{3\times 7}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{2}{3\times 7}$ ......(2)
(1) - (2) $ \ \ \ \ \ \frac{1}{c} = \frac{1}{6} - \frac{2}{3\times 7} = \frac{1}{14}$
�ͺ �ѧ����� ����Դ��� C ������ǵ����� ���������� 14 �������
⨷���������
�����Ҷ������� C �ӧҹ������� ��Ө�����ѧ����ҡ�������� <--- ������ �ѧ����� ����Դ��� C ������ǵ����� ��������������
�������Ѻ
�Ըշ�
���� A,B,C ����Դ�ӧҹ������ѹ ��Ө�����ѧ����� 6 �������
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{6}$ .....(1)
�������� A,B,C �ӧҹ� 2 ������� �������ͧҹ $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
���ͧҹ $\frac{2}{3}$ �ͧ�ҹ
�Դ��� C �ҡ�������� A,B �ӧҹ���� ��Ө�����ѧ����� 7 �������
7 ������� A+B ��ҹ $\frac{2}{3}$
1 ������� A+B ��ҹ $\frac{2}{3\times 7}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{2}{3\times 7}$ ......(2)
(1) - (2) $ \ \ \ \ \ \frac{1}{c} = \frac{1}{6} - \frac{2}{3\times 7} = \frac{1}{14}$
�ͺ �ѧ����� ����Դ��� C ������ǵ����� ���������� 14 �������
�����Ǥ�Ѻ�ѧ�����
ú�ǹ���⨷���ͧ����˹��¤�Ѻ �ʹը���١����ͧ����͡��Ҩ�������ѧ�
//www.uppicweb.com/x/i/ia/cnfn1.jpg
��� 18. ��Ẻ�����������
$4a + x = b^2 - \frac{\pi}{4}b^2$
$x = (1 - \frac{\pi}{4})b^2 - 4a$
//www.uppicweb.com/x/i/ik/88fo2.jpg
ú�ǹ���⨷���ͧ����˹��¤�Ѻ �ʹը���١����ͧ����͡��Ҩ�������ѧ�
//www.uppicweb.com/x/i/ia/cnfn1.jpg
��� 18. ��Ẻ�����������
$4a + 2x = b^2 - \frac{\pi}{4}b^2$
$x = \frac{(1 - \frac{\pi}{4})b^2 - 4a}{2}$
Ẻ����������Ҥ�Ѻ
2802
ú�ǹ���⨷���ͧ����˹��¤�Ѻ �ʹը���١����ͧ����͡��Ҩ�������ѧ�
//www.uppicweb.com/x/i/ia/cnfn1.jpg
��� 18. ��Ẻ�����������
$4a + 2x = b^2 - \frac{\pi}{4}b^2$
$x = \frac{(1 - \frac{\pi}{4})b^2 - 4a}{2}$
//www.uppicweb.com/x/i/ik/88fo2.jpg
3.//www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=5952
�ͺ�س����ͧ��ҹ��Ѻ
��� 18 ���ѹ令Դ��� x ��;�鹷�������ѹ ����˹���ѹ����ѹ����
��� 3 ��á���ٻ���� �Դ�����鹴�ҹ������������ҧ���������� 7 �� ��� 9 �� �ѹ�������鹵ç
��� ���� �ѹ���ʹ㨴�
������ҵ���Сѹ
���Ҥ�Ңͧ$$\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$$
�ô��͡����� ���Ф�Ѻ
��� ���� �ѹ���ʹ㨴�
������ҵ���Сѹ
���Ҥ�Ңͧ$$\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$$
�ô��͡����� ���Ф�Ѻ
��ҷ��Դ�� ��������
$11x105=1155$
$111x1005=111555$
�ѧ���
$111,111,111,111x1,000,000,000,005=111,111,111,111,555,555,555,555$
$111,111,111,111,555,555,555,555 + 1 = 111,111,111,111,555,555,555,556$
�����աẺ
$(111,111,111,111)(1,000,000,000,005) = (111,111,111,111)(1,000,000,000,000 + 5)$
$(111,111,111,111)(1,000,000,000,005) = 111,111,111,111,000,000,000,000 + 555,555,555,555$
$(111,111,111,111)(1,000,000,000,005) = 111,111,111,111,555,555,555,555$
$111,111,111,111,555,555,555,555 + 1 = 111,111,111,111,555,555,555,556$
�ҡ
$34x34=1156$
$334x334=111556$
�ѧ���
$333,333,333,334^2=111,111,111,111,555,555,555,556$
$\therefore \sqrt{111,111,111,111,555,555,555,556} = 333,333,333,334$
����Ըբͧ�س �� �Դ������ͧ�ͺ ��������Ф�Ѻ ����
����Ըբͧ�س �� �Դ������ͧ�ͺ ��������Ф�Ѻ ����
��鹤��ͷ�ҹ��蹺�ҧ�����ͧ��ҧ����͡�
��� ���� �ѹ���ʹ㨴�
������ҵ���Сѹ
���Ҥ�Ңͧ$$\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$$
�ô��͡����� ���Ф�Ѻ
$\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$
$=\sqrt{(999,999,999,999/9)(1,000,000,000,005)+1}$
$=\sqrt{([10^{12}-1]/9)(1,000,000,000,005)+1}$
$=\frac{\sqrt{([10^{12}+2]^2)}}{9}$
$=\frac{10^{12}-1+3}{3}$
$=\frac{999,999,999,999+3}{3}$
$=333,333,333,334$ :):)
���Ҥ�Ңͧ
$997 - 996 - 995 + 994 + 993 - 992 + 991 - 990 - 989 + 988 + 987 - 986 + ... + 7 - 6 - 5 + 4 + 3 -2 +1$
��� ���� �ѹ���ʹ㨴�
������ҵ���Сѹ
���Ҥ�Ңͧ$$\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$$
�ô��͡����� ���Ф�Ѻ
���
$$\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$$
$$\frac{1}{3}\sqrt{(10^{13}-1)(10^{13}+5)+9}$$
��� $10^{13}-1 = A$
$$\frac{1}{3}\sqrt{A(A+6)+9}$$
$$\frac{1}{3}(A+3)$$
$$\frac{10^{13}+2}{3}$$ :great:
���Ҥ�Ңͧ
$997 - 996 - 995 + 994 + 993 - 992 + 991 - 990 - 989 + 988 + 987 - 986 + ... + 7 - 6 - 5 + 4 + 3 -2 +1$
�ء� 6 �ӹǹ
997−996−995 + 994 + 993−992 = 1
991−990−989 + 988 + 987−986 = 1
985 − 984 − 983 + 982 + 981 − 980 =1
���� 166 �ش x 6 = 996 �ӹǹ + 1 �ӹǹ
�ѧ���
(997−996−995 + 994 + 993−992) + (991−990−989 + 988 + 987− 986)
+ (985 − 984 − 983 + 982 + 981 − 980) . . . +( 7 − 6 − 5 + 4 + 3 − 2 )+ 1
= \(\overbrace{ (1)+(1)+(1)+....(1)}^{166 �ӹǹ}\) +1
= 166+1 = 167
���
$$\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$$
$$\frac{1}{3}\sqrt{(10^{13}-1)(10^{13}+5)+9}$$
��� $10^{13}-1 = A$
$$\frac{1}{3}\sqrt{A(A+6)+9}$$
$$\frac{1}{3}(A+3)$$
$$\frac{10^{13}+2}{3}$$ :great:
�����Ҩеͺ $\frac{10^{12}+2}{3}$ �������Ҥ�Ѻ
���
$\sqrt{(111,111,111,111)(1,000,000,000,005)+1}$
$\frac{1}{3}\sqrt{(10^{12}-1)(10^{12}+5)+9}$
��� $10^{12}-1 = A$
.
.
.
= $\frac{10^{12}+2}{3}$
���Ҥ�Ңͧ
$997 - 996 - 995 + 994 + 993 - 992 + 991 - 990 - 989 + 988 + 987 - 986 + ... + 7 - 6 - 5 + 4 + 3 -2 +1$
997-996-995+994+993-992=1
991-990-989+988+987-986=1
.
.
.
7-6-5+4+3-2=1
�Ѵ������� 166 ����� ���ǡ��Ţ 1 �ա 1 ���
�ͺ 166+1=167
����⨷���ҸԵ�����ѹ��Ѻ ����á���
$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3} }{\frac{1}{3}-\frac{1}{4} }$*$\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{5} }{\frac{1}{5}-\frac{1}{6} }$*$\frac{\frac{1}{6}-\frac{1}{7} }{\frac{1}{7}-\frac{1}{8} }$*$....................................*\frac{\frac{1}{98}-\frac{1}{99} }{\frac{1}{99}-\frac{1}{100} }$
�ͧ��ԧ�Ф�Ѻ
����⨷���ҸԵ�����ѹ��Ѻ ����á���
$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3} }{\frac{1}{3}-\frac{1}{4} }$*$\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{5} }{\frac{1}{5}-\frac{1}{6} }$*$\frac{\frac{1}{6}-\frac{1}{7} }{\frac{1}{7}-\frac{1}{8} }$*$....................................*\frac{\frac{1}{98}-\frac{1}{99} }{\frac{1}{99}-\frac{1}{100} }$
copy from POSN preparation test
����⨷���ҸԵ�����ѹ��Ѻ ����á���
$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3} }{\frac{1}{3}-\frac{1}{4} }$*$\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{5} }{\frac{1}{5}-\frac{1}{6} }$*$\frac{\frac{1}{6}-\frac{1}{7} }{\frac{1}{7}-\frac{1}{8} }$*$....................................*\frac{\frac{1}{98}-\frac{1}{99} }{\frac{1}{99}-\frac{1}{100} }$
�ͧ��ԧ�Ф�Ѻ
$=\frac{4}{2} * \frac{6}{4} * \frac{8}{6} * \frac{10}{8} * .... * \frac{98}{96} * \frac{100}{98}$
$=\frac{100}{2}$
$=50$
$=\frac{4}{2} * \frac{6}{4} * \frac{8}{6} * \frac{10}{8} * .... * \frac{98}{96} * \frac{100}{98}$
$=\frac{100}{2}$
$=50$
��駢�͵�������� :)
���Ҥ�Ңͧ
$\left(1 + \frac{3}{4}\right)\left(1 + \frac{3}{5}\right)\left(1 + \frac{3}{6}\right)\left(1 + \frac{3}{7}\right)....\left(1 + \frac{3}{20}\right)\left(1 + \frac{3}{21}\right)\left(1 + \frac{3}{22}\right)$
���Ҥ�� a,b,c
$\frac{17}{10} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{a + \frac{b}{c}}}$
���Ҥ�Ңͧ
$\left(1 + \frac{3}{4}\right)\left(1 + \frac{3}{5}\right)\left(1 + \frac{3}{6}\right)\left(1 + \frac{3}{7}\right)....\left(1 + \frac{3}{20}\right)\left(1 + \frac{3}{21}\right)\left(1 + \frac{3}{22}\right)$
���Ҥ�� a,b,c
$\frac{17}{10} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{a + \frac{b}{c}}}$
1.�ŧ����� $\frac{7}{4}*\frac{8}{5}* \frac{9}{6}* \frac{10}{7}* \frac{11}{8}*........*\frac{23}{20}* \frac{24}{21}* \frac{25}{22}$
�Ѵ����Ţ������ 7 ������� $\frac{23*24*25}{4*5*6}=115$
2.�����ҷӤ�Ѻ
���Ҥ�� a,b,c
$\frac{17}{10} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{a + \frac{b}{c}}}$
$\frac{17}{10}=1+\frac{7}{10}$
$=1+\frac{1}{1+\frac{3}{7} }$
$=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3}} } $
a=2,b=1,c=3
����Է����Ѻ :p
�����Է����Сѹ�Ф�
���Ҥ�Ңͧ$\sqrt{(71)(70)(69)(68)+1}$
�����Է����Сѹ�Ф�
���Ҥ�Ңͧ$\sqrt{(71)(70)(69)(68)+1}$
��� $68 = a $ ����
$\sqrt{(71)(70)(69)(68)+1} = \sqrt{(a+3)(a+2)(a+1)(a)+1}$
$ = \sqrt{[a(a+3)][(a+2)(a+1)]+1}$
$ = \sqrt{(a^2+3a)(a^2+3a+2)+1}$
��� $a^2+3a = b$ ����
$ = \sqrt{b(b+2)+1}$
$ = \sqrt{b^2+2b+1}$
$ = \sqrt{(b+1)^2}$
$ = b+1 $
$ = a^2+3a+1$
$ = 68^2+3(68) +1$
$= 4829$
�����������Ѻ
��� 7!=5040 ����Ţ 3 ��Ƿ��� ����� = 4 (0+4+0)
8! = 40320 ����Ţ 3 ��Ƿ��� ����� = 5 (3+2+0)
������� 2552! �ռ�����Ţⴴ637��Ƿ�����ҡѺ�����
ⴹ �س banker �Ѵ˹�ҫС� 55
�������� ��餹��ҡ�� ���⨷������¤�Ѻ :haha:
�����������Ѻ
��� 7!=5040 ����Ţ 3 ��Ƿ��� ����� = 4 (0+4+0)
8! = 40320 ����Ţ 3 ��Ƿ��� ����� = 5 (3+2+0)
������� 2552! �ռ�����Ţⴴ637��Ƿ�����ҡѺ�����
���������¢����˹��� ���� choice ��� :haha:
$ �. 2 \ \ �. 4 \ \ �. 6 \ \ �. 8$
�����������Ѻ
��� 7!=5040 ����Ţ 3 ��Ƿ��� ����� = 4 (0+4+0)
8! = 40320 ����Ţ 3 ��Ƿ��� ����� = 5 (3+2+0)
������� 2552! �ռ�����Ţⴴ637��Ƿ�����ҡѺ�����
2552 ���Ţ 0 ŧ���·�����
$=\frac{2552}{5}+\frac{2552}{25}+\frac{2552}{125}+\frac{2552}{625}$
$=510+102+20+4$(���������)
$=636 ���$
�ѧ��鹼źǡ�Ţⴴ 637 ����ش������ҡѺ�Ţⴴ��Ƿ�� 637 �Ѻ�ҡ������ = 8
��͵���
$a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{10}+1}$ $b=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}}{\sqrt{10}-1}$
���� $\frac{a+b-1}{a-b+1}$
2552 ���Ţ 0 ŧ���·�����
$=\frac{2552}{5}+\frac{2552}{25}+\frac{2552}{125}+\frac{2552}{625}$
$=510+102+20+4$(���������)
$=636 ���$
�ѧ��鹼źǡ�Ţⴴ 637 ����ش������ҡѺ�Ţⴴ��Ƿ�� 637 �Ѻ�ҡ������ = 8
������ҧ�� �֧�� �Ţⴴ��Ƿ�� 637 �Ѻ�ҡ������ = 8 ��Ѻ
��͵���
$a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{10}+1}$ $b=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}}{\sqrt{10}-1}$
���� $\frac{a+b-1}{a-b+1}$
HINT
�ӵ����ǹ������Դ���
�� $a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{10}+1} = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{10}+1} \times \frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{10}-1}$ $=\frac{\sqrt{50}-\sqrt{5}+\sqrt{10}-1 }{9}$
.
.
.
�ͺ $-\sqrt{10} $
��ҹ banker ��駵����¤�Ѻ
���������¢����˹��� ���� choice ��� :haha:
$ �. 2 \ \ �. 4 \ \ �. 6 \ \ �. 8$
��ҹ banker ���Ը��˹��Ѻ ��ҡ����������Ըդ�Ѻ
������ҧ�� �֧�� �Ţⴴ��Ƿ�� 637 �Ѻ�ҡ������ = 8 ��Ѻ
�ҡ
$8! = 40320$
�Ţⴴ�������� 0 ����Ţ��� 2
���
$2552! = 2552x2551x....9x8!$
�ѧ���
$9x2x2= 36$
�Ţⴴ����á�������� 0 ��� 6
$\therefore �Ţⴴ��Ƿ�� 637 �Ѻ�ҡ������ = 6$
�ҡ
$8! = 40320$
�Ţⴴ�������� 0 ����Ţ��� 2
���
$2552! = 2552x2551x....9x8!$�ѧ���
$9x2x2= 36$�Ţⴴ����á�������� 0 ��� 6
$\therefore �Ţⴴ��Ƿ�� 637 �Ѻ�ҡ������ = 6$
ú�ǹ����Ժ���������˹��¤�Ѻ
1. �ç�չ���Թ ������ͧ $9x8!$
2. �ç��ᴧ ���� �� $9x2x2= $
ú�ǹ����Ժ���������˹��¤�Ѻ
1. �ç�չ���Թ ������ͧ $9x8!$
2. �ç��ᴧ ���� �� $9x2x2= $
���ͧ�ҡ�Ţⴴ���ѡ˹��¢ͧ�Ţ 1-2550 ���� 1-9 ��� 10 �ѧ��鹼Ťس�ͧ�Ţⴴ���ѡ˹��� $=9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 9x8!$
��ǹ
9x2x2 �Ҩҡ 9x2(�Ţⴴ�������� 0 �ͧ 8!)x2(�Ţⴴ��ѡ˹��¢ͧ 2552)
�����Դ����Ẻ��� ������������Ҩж١�������� �����ѧ�բ����ѧࡵصç����Ţ��ѡ˹����Դ�ҡ�����ٻẺ��
1-9,11-19,21-29...,101-109,111-119,...1001-1009,1010-1019,...,2541-2549
�����ǼŤٳ�ͧ�ѹ���Ţⴴ����á�������� 0 �� 2,4,6,8 ����������ٻẺ�ѹ��Ẻ�˹
���Ǥس banker �Դ�ѧ䧤�Ѻ
ú�ǹ���˹��¤�Ѻ ʧ������м��Դ�� 1 ����ٻẺ�ѹ����Ҩ���
//www.uppicweb.com/x/i/iu/xb0h3.jpg
���ԴẺ����Ѻ
//www.uppicweb.com/x/i/ir/8pf73.jpg
���ǧ����������� r �ѧ���ǧ����˭������ 2r
$a + c = \frac{\pi}{2}r^2$
$b + c = \frac{\pi}{4}4r^2 - \frac{\pi}{2}r^2$
$b + c = \frac{\pi}{2}r^2$
$\therefore a = b , \frac{a}{b} = 1$
$B=\frac{1}{4} \pi 2r^2-((\frac{1}{2}\pi r^2-(\frac{1}{2}\pi r^2-\frac{1}{4}\pi r^2)X2)+\frac{1}{2}\pi r^2$
$a=(\frac{1}{2}\pi r^2-\frac{1}{4}\pi r^2)X2$ �����Ѵ����º ���������ж١�����Ҥ�Ѻ
��Ѻ�Ҿ����⨷�� :D
����ͺ�ç��� ��ǹ ���� � ��Ѻ ����Ѻ�� �ҸԵ��з���ѹ ��� ��㹺���
���Ҩӹǹ����ǡ $n$ �����·���ش����ҡ����ش��������ըӹǹ����ǡ $k$ ��� $1000 = n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+...+(n+k)$
��Ѻ�Ҿ����⨷�� :D
����ͺ�ç��� ��ǹ ���� � ��Ѻ ����Ѻ�� �ҸԵ��з���ѹ ��� ��㹺���
���Ҩӹǹ����ǡ $n$ �����·���ش����ҡ����ش��������ըӹǹ����ǡ $k$ ��� $1000 = n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+...+(n+k)$
$1000 = n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+...+(n+k)$
$1000 = n(k+1) + (1 + 2 + 3 + 4 +...+ k)$
$1000 = n(k+1) +\frac{k(k+1)}{2}$
$n = \frac{1000}{k+1} - \frac{k}{2}$
$k = 4$
$n = 198$
$k = 24$
$n = 28$
$n=198 �Ѻ k=4$
$n=28 �Ѻ k=24$
�ŧ��$1000=(k+1)(n+\frac{k}{2})$ ���$k=2l$
$1000=(2l+1)(n+l)$
�������$2l+1$�繨ӹǹ���....$1000=5^3\times 2^3$
�¡���繼Ťٳ�ͧ$5\times 200$,$25\times 40$,$125\times 8$
�¡����
1.$2l+1=5$, $ 2l=k=4$, $l=2$
$n+2=200$ $\rightarrow $ $n=198$
2.$2l+1=25$, $ 2l=k=24$, $l=12$
$n+12=40$ $\rightarrow $ $n=28$
3.$2l+1=125$ ,$ 2l=k=124$ ,$l=62$
$n+62=8$ $\rightarrow $ $n=(-54)$
����ͤ��$n$�����ҧ��
��Ѻ�Ҿ����⨷�� :D
����ͺ�ç��� ��ǹ ���� � ��Ѻ ����Ѻ�� �ҸԵ��з���ѹ ��� ��㹺���
���Ҩӹǹ����ǡ $n$ �����·���ش����ҡ����ش��������ըӹǹ����ǡ $k$ ��� $1000 = n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+...+(n+k)$
����Ẻ���
$(k+1)(n+\frac{k}{2}) = 1000$
$\frac{1000}{k+1}-\frac{k}{2} = n$
$k$ �繨ӹǹ��� $k+1 \left|\,\right. 1000$ ŧ���
$Max$ $n$
$k+1 = 5$
$k=4$
$250-2 = 248$
$Min$ $n$
$k+1 = 25$
$k=24$
$n = 28$ :great:
$k=124$
$\frac{1000}{k+1}-\frac{k}{2} = n$
$Max$ $n$
$k+1 = 5$
$k=4$
$250-2 = 248$
�����$\frac{1000}{5}-\frac{4}{2} =200-2 =198$
���´��ա�դ�Ѻ
�����$\frac{1000}{5}-\frac{4}{2} =200-2 =198$
���´��ա�դ�Ѻ
���ֹ�˹��� ���� �س�Ե�� �١���Ǥ�Ѻ �ѹ��� ���ѧ��� :haha:
������������Ѻ ���ӧҹ����������º��¤�Ѻ...�ҡ�Ȣ�ҧ�����ҡ��Ѻ ������$35-37$ͧ��������
������������Ѻ ���ӧҹ����������º��¤�Ѻ...�ҡ�Ȣ�ҧ�����ҡ��Ѻ ������$35-37$ͧ��������
�س�Ե�Էӧҹ������ͤ�Ѻ ������ҡ�������ѹ��� :sweat:
�ӧҹ�����ç����秤�Ѻ....55555
�����蹤�Ѻ....���ӧҹ�ç��Һ�Ť�Ѻ
��ǧ�����ѧ������������ ������١��Ѻ �١���������¹�.1 ��. smartSci
���ѧ��͡�����Ѥ��ǻ������� ��������ҹ��Ե��ʵ������
�ͺ��Ҫ���ͧ���ѡ��Ե���͡��ҹ�ͧ�����¹��ж��������
��������١��Ѻ�Ҩҡ�Ǫ�ҤĴ����� ������һ�ǹ�ѹ��駾�ͷ���١55555
��Ѻ�Ҿ����⨷�� :D
����ͺ�ç��� ��ǹ ���� � ��Ѻ ����Ѻ�� �ҸԵ��з���ѹ ��� ��㹺���
���Ҩӹǹ����ǡ $n$ �����·���ش����ҡ����ش��������ըӹǹ����ǡ $k$ ��� $1000 = n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+...+(n+k)$
�� $n$ ���� $k+1$ �ӹǹ
$1000 = n(k+1) + \frac{k(k+1)}{2}$
$1000 = (k+1)(n + \frac{k}{2})$
$2000 = (k+1)(2n + k)$
$1\times 2000 = (k+1)(2n + k)$
�ó� $k+1 = 1 $ ��� $2n+k = 2000$ ����
$k = 0, \ \ \ n = 1000$ ������� ���� $k$ ����繨ӹǹ����ǡ
$2\times 1000 = (k+1)(2n + k)$
$k=1 \ \ \ n \ $ ����繨ӹǹ���
᷹���仵����ǻ�Сͺ�ͧ 2000
5 �繵�ǻ�Сͺ����á������� $n$ �鹨ӹǹ����ǡ
$5\times 400 = (k+1)(2n + k)$
$k = 4 \ \ \ n =198$
25 �繵�ǻ�Сͺ����ҡ����ش������� $n $ �繨ӹǹ����ǡ
$25\times 80 = (k+1)(2n + k)$
$ k = 24 \ \ \ n =28$
�ͺ $n$ ���·���ش ��� $28 \ \ $ ����ҡ����ش��� $ \ 198 \ $������� �ըӹǹ����ǡ $k$ ��� $1000
1.��Ǵǧ˹�� 1 �ѹ�� 10 ��. 1 ��. �� 100 �ҷ� ������ҷ������ 6 ��� 75 �ҷ� �����鹡Ѻ�����Ƿ�����ѹ���ͧ��
2.��� � �Թ�ҧ�ҡ���ͧ A � ���ͧ B ���¤������� 50 km/h �����Թ�ҧ��Ѻ���¤������� 70 km/h �ҡ���Թ�ҧ仡�Ѻ����ͺ������ 18 ��. �������зҧ�����ҧ���ͧ A ��� B
1.��Ǵǧ˹�� 1 �ѹ�� 10 ��. 1 ��. �� 100 �ҷ� ������ҷ������ 6 ��� 75 �ҷ� �����鹡Ѻ�����Ƿ�����ѹ���ͧ��
�¶������ ˹�ҹ���Ѻ
//www.mathcenter.net/forum/showpost.php?p=78413&postcount=2
2.��� � �Թ�ҧ�ҡ���ͧ A � ���ͧ B ���¤������� 50 km/h �����Թ�ҧ��Ѻ���¤������� 70 km/h �ҡ���Թ�ҧ仡�Ѻ����ͺ������ 18 ��. �������зҧ�����ҧ���ͧ A ��� B
仡�Ѻ 1 �ͺ ������ 6 ������� �����ҧ���ͧ A ��� B = $x$ km
$\frac{x}{50}+\frac{x}{70} = 6$
$x =175$
��⨷���� ầ������ ˹��¤�Ѻ �ѹ��ҷ�´�
2552 ���Ţ 0 ŧ���·�����
$=\frac{2552}{5}+\frac{2552}{25}+\frac{2552}{125}+\frac{2552}{625}$
$=510+102+20+4$(���������)
$=636 ���$
�ѧ��鹼źǡ�Ţⴴ 637 ����ش������ҡѺ�Ţⴴ��Ƿ�� 637 �Ѻ�ҡ������ = 8
���Ǣ������Ţⴴ��Ƿ��������ѧ� ú�ǹ�ʴ����ٴ��¤�Ѻ
�ѹ������º� ��鹢͵��⨷�������ǡѹ
���Ҿ�鹷������
//www.uptopic.net/upload/global/10-12/5phfnpl0.png
���Դ�� 3.5325 ��Ф�Ѻ������١������
(�Ҩҡ��鹷��ͧ 1/4 �ͧǧ��� - ��鹷���բ�Ƿ���鹷�����ҫ��Ѻ�ѹ(���ͧ�ҡ��鹷������+��鹷���բ�Ǵ�ҹ��ҧ���=��鹷��1/4�ͧǧ���))
�ѹ������º� ��鹢͵��⨷�������ǡѹ
���Ҿ�鹷������
//www.uptopic.net/upload/global/10-12/5phfnpl0.png
��鹷������ = ��鹷������������ OAB = $\frac{1}{2}\times{3}\times{3}= 4.5$
���Ǣ������Ţⴴ��Ƿ��������ѧ� ú�ǹ�ʴ����ٴ��¤�Ѻ
�������ҡ������������ѹ :haha:
���Դ�� 3.5325 ��Ф�Ѻ������١������
(�Ҩҡ��鹷��ͧ 1/4 �ͧǧ��� - ��鹷���բ�Ƿ���鹷�����ҫ��Ѻ�ѹ(���ͧ�ҡ��鹷������+��鹷���բ�Ǵ�ҹ��ҧ���=��鹷��1/4�ͧǧ���))
�ӵͺ��� 4.5 ������س nong_jae �͡����Ѻ
��鹷������ = ��鹷������������ OAB = $\frac{1}{2}\times{3}\times{3}= 4.5$
��� ��ԧ���¤�Ѻ ��鹷���ѹ��ҡѺ���������� ���ҫ��Ѻ��鹷���բ��
�������Դ���֧��:haha:
��������ͧ�ա���
ABCD ������������������ 6x6 OEF ����������������ҡ OE=8, OF=6 ���Ҿ�鹷������
//www.uptopic.net/upload/global/10-12/8upvjytj.png
��纻�꺵ͺ��� $\frac{1}{2} \times 6\times 8 - \frac{1}{4}(6\times 6) = 15$
��纻�꺵ͺ��� $\frac{1}{2} \times 6\times 8 - \frac{1}{4}(6\times 6) = 15$
��ҹ banker ���⨷���ҧ�Ԥ�Ѻ
�������ҡ������������ѹ :haha:
���Ǥس"��ͧ_��" �ͺ�����ҧ�ä�Ѻ :great:
��ҹ banker ���⨷���ҧ�Ԥ�Ѻ
�����Ǥ�Ѻ ��⨷������ҹ������ͧ�ѹ�� �������Ըշ�
�����ʴ��Ըշ����˹��¤�Ѻ
�ѧ�˹�� �շ��䢹�����˹�觷�� ��з��鹶ѧ�շ�������͡�������·�� �ء����բ�Ҵ��ҡѹ
��ҡ���������������ѧ �Դ���������Ҿ�����Ѻ�Դ��͡鹶ѧ 10 ��� ��Ө�����ѧ� 20 �ҷ�
�����Դ������Ҿ�����Ѻ�����͡�鹶ѧ 8 ��� ��Ө��͡����ѧ� 35 �ҷ�
������Ҷ���Դ������Ҿ�����Ѻ�Դ�����͡ 12 ��� ��Ө�����ѧ����ҡ��ҷ�
�����Ǥ�Ѻ ��⨷������ҹ������ͧ�ѹ�� �������Ըշ�
�����ʴ��Ըշ����˹��¤�Ѻ
�ѧ�˹�� �շ��䢹�����˹�觷�� ��з��鹶ѧ�շ�������͡�������·�� �ء����բ�Ҵ��ҡѹ
��ҡ���������������ѧ �Դ���������Ҿ�����Ѻ�Դ��͡鹶ѧ 10 ��� ��Ө�����ѧ� 20 �ҷ�
�����Դ������Ҿ�����Ѻ�����͡�鹶ѧ 8 ��� ��Ө��͡����ѧ� 35 �ҷ�
������Ҷ���Դ������Ҿ�����Ѻ�Դ�����͡ 12 ��� ��Ө�����ѧ����ҡ��ҷ�
$������������ѵ�ҧҹ = x$
$�������͡���ѵ�ҧҹ = y$
$1 = 20(10y - x)....1$
$1 = 35(8y - x)......2$
$1=2$
$200y - 20x = 280y - 35x$
$15x = 80y$
$x = \frac{80y}{15}....3$
᷹��� x � 1
$1 = 200y - 20(\frac{80y}{15})$
$y = \frac{3}{280}$
᷹��� y � 3:
$x = \frac{2}{35}$
$1 = (���ҹ�����)(12y - x)$
$1 = (���ҹ�����)(\frac{36}{280} - \frac{2}{35})$
$\therefore ��Ө�����ѧ����� 14 �ҷ�$
����ҧ�ԧ�֧����˹��¤�Ѻ ���м��繤��Դ�ҡ ��Ф���ҧ�п�駫�ҹ�ҡ�
ú�ǹ���˹��¤�Ѻ ʧ������м��Դ�� 1 ����ٻẺ�ѹ����Ҩ���
//www.uppicweb.com/x/i/iu/xb0h3.jpg
���ԴẺ����Ѻ
���ǧ����������� r �ѧ���ǧ����˭������ 2r
$a + c = \frac{\pi}{2}r^2$
$b + c = \frac{\pi}{4}4r^2 - \frac{\pi}{2}r^2$
$b + c = \frac{\pi}{2}r^2$
$\therefore a = b , \frac{a}{b} = 1$
���ФԴ������������Ҩش�Ѵ�ͧǧ�������ͧǧ����ҡ���ѧ�ش�ٹ���ҧ�ͧǧ�������ͧ���ǵ�駩ҡ�Ѻ��鹼�ҹ�ٹ���ҧ�ͧǧ������ �ͧ�ٻ ������Ṻ�ٻ������ �����$m$���$n$�繨ش�ٹ���ҧǧ�������ͧǧ ��觴���ٻ�����ѹ����Ҩ���
//learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/Math/problem02.JPG
��������ͧ���ص�����繵���ٻ����ͧ ���$m$���$n$�繨ش�ٹ���ҧǧ�������ͧǧ ��Шش�Ѵǧ�������ͧ��ͨش$S$ �Դ�����������ͧ�ٻ����մ�ҹ�����ѹ ���������������� $mnOS$
//learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/Math/problem04.JPG
��������������մ�ҹ�����ѹ���$nOS$���$mOS$ ������������˹�Ҩ������մ�ҹ��Сͺ����ʹ�����ҡѺ�����ǧ��� �����ҡѺ$r$ ��á�Ш��Ҥ�����Ǣͧ��ҹ$OS$��Դ��������������� ���ͧ��仡� �����Ժ����ͧ����Ҵ�. ���ͧ�ҡ����������˹�Ҩ�����������ҹ��ҡѹ �����ҡѺ$x$���$y$����ٻ �ҡ�����������ͧ�ͧ����ç������������������ �з���������$(x+y)+(x+y) =180$ $\rightarrow x+y =90$ ��Шҡ�����������ͧ������㹢ͧ������������ҹ���ǡѹ����ѹ��$180$ �����������ʹ����ͧ�����$90$.....��·�������Ըյ��������
��������Ҽ����㨶١�����Ѻ....���Դ�ҡ��Ҵ���ص�����������訹��ͧ���ٵ�������ǡ���ź�ͧ���⡳ ��Դ��ҤӶ���ͧ�дѺ��ж���Ҩ����֧��Ҵ���.....���¼���˹��¤�Ѻ��������ҧ�������٨���������Ҥ�Ѻ :eek::eek::eek:
����ҧ�ԧ�֧����˹��¤�Ѻ ���м��繤��Դ�ҡ ��Ф���ҧ�п�駫�ҹ�ҡ�
���ФԴ������������Ҩش�Ѵ�ͧǧ�������ͧǧ����ҡ���ѧ�ش�ٹ���ҧ�ͧǧ�������ͧ���ǵ�駩ҡ�Ѻ��鹼�ҹ�ٹ���ҧ�ͧǧ������ �ͧ�ٻ ������Ṻ�ٻ������ �����$m$���$n$�繨ش�ٹ���ҧǧ�������ͧǧ ��觴���ٻ�����ѹ����Ҩ���
//learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/Math/problem02.JPG
��������ͧ���ص�����繵���ٻ����ͧ ���$m$���$n$�繨ش�ٹ���ҧǧ�������ͧǧ ��Шش�Ѵǧ�������ͧ��ͨش$Q$ �Դ�����������ͧ�ٻ����մ�ҹ�����ѹ ���������������� $mnOQ$
//learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/Math/problem03.JPG
��������������մ�ҹ�����ѹ���$nOQ$���$mOQ$ ������������˹�Ҩ������մ�ҹ��Сͺ����ʹ�����ҡѺ�����ǧ��� �����ҡѺ$r$ ��á�Ш��Ҥ�����Ǣͧ��ҹ$OQ$��Դ��������������� ���ͧ��仡� �����Ժ����ͧ����Ҵ�. ���ͧ�ҡ����������˹�Ҩ�����������ҹ��ҡѹ �����ҡѺ$x$���$y$����ٻ �ҡ�����������ͧ�ͧ����ç������������������ �з���������$(x+y)+(x+y) =180$ $\rightarrow x+y =90$ ��Шҡ�����������ͧ������㹢ͧ������������ҹ���ǡѹ����ѹ��$180$ �����������ʹ����ͧ�����$90$.....��·�������Ըյ��������
��������Ҽ����㨶١�����Ѻ....���Դ�ҡ��Ҵ���ص�����������訹��ͧ���ٵ�������ǡ���ź�ͧ���⡳ ��Դ��ҤӶ���ͧ�дѺ��ж���Ҩ����֧��Ҵ���.....���¼���˹��¤�Ѻ��������ҧ�������٨���������Ҥ�Ѻ :eek::eek::eek:
��ͧ���ɤس�Ե�ԹФ�Ѻ ���ѧ�չ����� ��������������Ҥس�Ե�Ե�ͧ��þ��٨������
�ٻ��ҧ�� ��������������Ѵ��ǹ����� �ͧ��ǧ���¹�Ҵ������������Ѻ
���ͧ�Ҵ�ٻ������scale ����ǧ���¹
2808
�����صԨش�Ѵǧ�����$S$���ǡѹ ������ٻ���ش$Q$��������
��͵���Ըշ����� �繡����ػ�¤Դ����ٻ�á �����鹵ç����ҡ�ҡ�ش$S$��ѧ�ش�ٹ���ҧ�ͧǧ��� ��� $Sm$��鹵�駩ҡ�Ѻ$OQ$���$Sn$�е�駩ҡ�Ѻ$OP$ ���������ѧ䧤�Ѻ��Ҩ���Ẻ��� ����������ص��ٻ����ͧ�� �����ѹ��ͺ���������������$OQmn$�������������ѵ���� ��������������ҷ����Դ��������������������µ�����á��� ������...���д٨ҡ�ٻ�����ѹ����Ҩ����ٻ�����������ѵ����
�������س��banker�Ҵ�������Ф�Ѻ...����Ҿ�����ҧ����Ҵ�礧��������Դ����ʧ������ҧ����ʧ��¤�Ѻ
�ѡ��ռ���ô��Դ˹�觷���դ�������� 48% �Ѻ�ô��Դ���ǡѹ����դ�������� 80% �ҡ��鹡�������ŧ��ա 2 �Ե� �ش������ô����ҵ� 10 �Ե� ����դ�������� 40% �����ҹѡ�����ô����դ�������� 48% �ӹǹ���������Ե�
�ѡ��ռ���ô��Դ˹�觷���դ�������� 48% �Ѻ�ô��Դ���ǡѹ����դ�������� 80% �ҡ��鹡�������ŧ��ա 2 �Ե� �ش������ô����ҵ� 10 �Ե� ����դ�������� 40% �����ҹѡ�����ô����դ�������� 48% �ӹǹ���������Ե�
7500 ml :)
���Ǥس"��ͧ_��" �ͺ�����ҧ�ä�Ѻ :great:
��� �������
7500 ml :)
�ʴ��ԸշӴ��«Ԥ�Ѻ ��ҹ��駡�����ͧ����������ͤ�Ѻ
�ʴ��ԸշӴ��«Ԥ�Ѻ ��ҹ��駡�����ͧ����������ͤ�Ѻ
��������Ҷ١�ֻ��Ǥ�Ѻ :mellow:
��� �������
���ɤ�Ѻ :please:���Ƿ�Һ�����ҧ�ä�Ѻ
�ѡ��ռ���ô��Դ˹�觷���դ�������� 48% �Ѻ�ô��Դ���ǡѹ����դ�������� 80% �ҡ��鹡�������ŧ��ա 2 �Ե� �ش������ô����ҵ� 10 �Ե� ����դ�������� 40% �����ҹѡ�����ô����դ�������� 48% �ӹǹ���������Ե�
��ѡ��������
����ҳ���͡ô�ҡ�������� = ����ҳ���͡ô�ش����
����ҳ���͡ô� 48% + ����ҳ���͡ô� 80% + ���͡ô㹹�� = ����ҳ���͡ô� 40% ... (˹������Ե�)
$\frac{48}{100} \cdot x + \frac{80}{100}\cdot (8 - x) + \frac{0}{100}\cdot 2 = \frac{40}{100}\cdot 10$
$x = 7.5 = 7500 ������Ե�$
1) A �͡���͡�о������ 5 �١����� 3 �ҷ�
B �͡���͡�о������ 3 �١����� 5 �ҷ�
������о���Ƿ���ͧ���¡ѹ�͡���͡������ 70 �١ �µ�ҧ����ҧ�͡ ��з���ͧ������͡�о���Ǿ�����ѹ ����ͻ͡�о���Ƿ�� 70 �١����� ��ҡ��Һ��� A ��� B �͡�о�����餹�С���١��������Ҥ��С��ҷ�
2) ����ǹ��˹�觵�ͧ��ù��蹫�����좹Ҵ 40x40 ��.��. �һ����ͷӷҧ�Թ�ͺ�ǹ��ǹǹ�ͧ�� �ҡ�ǹ��觹���դ������ 160 ���� ����վ�鹷�� 4 ��� ��ҡ��Һ��ҵ�ͧ���蹫����������
ᴧ�Թ�ҧ�ҡ���ѡ��ç���¹���¤������� 4 ��./��. �����Թ��Ѻ���¤���������� �ѹ���������Թ���¤������� 3 ��./�� ��Тҡ�Ѻ�Թ���¤������� 5 ��./�� �����������ҡ�����ѹ�á 20 �ҷ� ����������зҧ�ҡ���ѡ��ç���¹��ҧ�ѹ����������.
ᴧ�Թ�ҧ�ҡ���ѡ��ç���¹���¤������� 4 ��./��. �����Թ��Ѻ���¤���������� �ѹ���������Թ���¤������� 3 ��./�� ��Тҡ�Ѻ�Թ���¤������� 5 ��./�� �����������ҡ�����ѹ�á 20 �ҷ� ����������зҧ�ҡ���ѡ��ç���¹��ҧ�ѹ����������.
�ͺ 50 km ��Ѻ:)
��ǹ�Ըշ��ѧ�������� ���ͧ�ҡ����ջѭ�Ҿ��Latex ��������;)
�ͺ 50 km ��Ѻ:)
��ǹ�Ըշ��ѧ�������� ���ͧ�ҡ����ջѭ�Ҿ��Latex ��������;)
�ѧ����ͧ�պ������ԸշӤ�Ѻ ���е�ͧ��Ѻ��������Ѻ :)
�ѧ����ͧ�պ������ԸշӤ�Ѻ ���е�ͧ��Ѻ��������Ѻ :)
��� ź�Ţ�Դ��Ѻ
�ͺ���� 10 km:)
��� ź�Ţ�Դ��Ѻ
�ͺ���� 10 km:)
����������Ǥ�Ѻ:great: ��е������¤�Ѻ
ᴧ�Թ�ҧ�ҡ���ѡ��ç���¹���¤������� 4 ��./��. �����Թ��Ѻ���¤���������� �ѹ���������Թ���¤������� 3 ��./�� ��Тҡ�Ѻ�Թ���¤������� 5 ��./�� �����������ҡ�����ѹ�á 20 �ҷ� ����������зҧ�ҡ���ѡ��ç���¹��ҧ�ѹ����������.
$(\frac{s}{3} + \frac{s}{5}) - \frac{s}{2} = \frac{1}{3}$
$\frac{8}{15} - \frac{s}{2} = \frac{1}{3}$
$16s - 15s = 10$
$s = 10km$
����������Ǥ�Ѻ:great: ��е������¤�Ѻ
�Ըշ�
��˹�������зҧ = x
����仡�Ѻ�ѹ�á = x/2 (x/4 �ٳ 2)
����仡�Ѻ�ѹ����� = 8x/15 (x/3 �ǡ�Ѻ x/5)
������Ңͧ�ѹ����ͧ�����ҡ�������� 20 �ҷ� ���� 1/3 ��.
��������
x/2 = 8x/15 - 1/3
x = 10
��͵���
��˹���� a = b^2 = c/2 ��� a+b+c = 30 ���� (1/ab+bc+ac)^2 �դ������� (�����Latex�����)
1) A �͡���͡�о������ 5 �١����� 3 �ҷ�
B �͡���͡�о������ 3 �١����� 5 �ҷ�
������о���Ƿ���ͧ���¡ѹ�͡���͡������ 70 �١ �µ�ҧ����ҧ�͡ ��з���ͧ������͡�о���Ǿ�����ѹ ����ͻ͡�о���Ƿ�� 70 �١����� ��ҡ��Һ��� A ��� B �͡�о�����餹�С���١��������Ҥ��С��ҷ�
2) ����ǹ��˹�觵�ͧ��ù��蹫�����좹Ҵ 40x40 ��.��. �һ����ͷӷҧ�Թ�ͺ�ǹ��ǹǹ�ͧ�� �ҡ�ǹ��觹���դ������ 160 ���� ����վ�鹷�� 4 ��� ��ҡ��Һ��ҵ�ͧ���蹫����������
��������ѹ���Ф�Ѻ
��������ѹ���Ф�Ѻ
�Դ����͡��Ѻ �ҡ令�Ѻ:haha:
��������ѹ���Ф�Ѻ
�س JSompis ��Ѻ ⨷���ҧ������繢���ͺ��Ҥ���Ե��ʵ�������ش���ͻ��Ǥ�Ѻ ?
�س JSompis ��Ѻ ⨷���ҧ������繢���ͺ��Ҥ���Ե��ʵ�������ش���ͻ��Ǥ�Ѻ ?
���������
���������
�ͺ�س�ҡ��Ѻ �س nong_jae ��������Ҥس�ا Banker ��оǡ���������¡ѹ������ǹ�Ф�Ѻ ����ҡ��з����ҹ�Ф�Ѻ �س JSompis
��.) ú�ǹ�س nong_jae ���¡ѹ���⨷����¹�Ф�Ѻ �ͺ�س��ǧ˹�Ҥ�Ѻ
//www.uptopic.net/upload/global/10-12/hqntcrob.png
$\geqslant$ 180ͧ��$\leqslant$ �����Ҥ�Ѻ
//www.uptopic.net/upload/global/10-12/hqntcrob.png
180ͧ�� ��Ѻ:)
�ʴ��ԸշӴ��¤�Ѻ
�ʴ���þ��٨�����ͤ�Ѻ
���ѧ���������Ѻ (�ѹUpload �ٻ����� �����Latex������� ����������������Ѻ:sweat:)
���ɷչФ�Ѻ:please: (��Ҿ���������Ǩ��Ҿ�����Ѻ)
//www.uptopic.net/upload/global/10-12/hqntcrob.png
����ç��ҧ�ͧ�ٻ 5 ������ ��ô��� 5 �ͧ�մ��鹨��� ���������� 5 �ٻ (˹�Ҩ���) = 360/5 = 72 =��������ҹ 1 ��� = (180-72)/2=54
������ҹ�ͧ�ٻ�����������������͡�� 1 ��� =180- (2*54 ) = 72 ������������͡�� = 180-(2*72)=36
�� 5 ��� = 5*36= 180
�ͺ 180
��ͤ��������¹�¤س JSompis
1) A �͡���͡�о������ 5 �١����� 3 �ҷ�
B �͡���͡�о������ 3 �١����� 5 �ҷ�
������о���Ƿ���ͧ���¡ѹ�͡���͡������ 70 �١ �µ�ҧ����ҧ�͡ ��з���ͧ������͡�о���Ǿ�����ѹ ����ͻ͡�о���Ƿ�� 70 �١����� ��ҡ��Һ��� A ��� B �͡�о�����餹�С���١��������Ҥ��С��ҷ�
2) ����ǹ��˹�觵�ͧ��ù��蹫�����좹Ҵ 40x40 ��.��. �һ����ͷӷҧ�Թ�ͺ�ǹ��ǹǹ�ͧ�� �ҡ�ǹ��觹���դ������ 160 ���� ����վ�鹷�� 4 ��� ��ҡ��Һ��ҵ�ͧ���蹫����������
⨷������ҹ�������������� ���������ҷ�:haha:
����ç��ҧ�ͧ�ٻ 5 ������ ��ô��� 5 �ͧ�մ��鹨��� ���������� 5 �ٻ (˹�Ҩ���) = 360/5 = 72 =��������ҹ 1 ��� = (180-72)/2=54
������ҹ�ͧ�ٻ�����������������͡�� 1 ��� =180- (2*54 ) = 72 ������������͡�� = 180-(2*72)=36
�� 5 ��� = 5*36= 180
�ͺ 180
�ҡ�ԴẺ�����ʴ���� 5 ��������ç��ҧ ��ͧ�� 5 ���������ҹ��Ҵ��� �֧����� 360/5 �� ��⨷�������͡������� �����������ҧ�ä�Ѻ����� 5 ���������ҹ��� ú�ǹ������� ���д��ٻ��������Ҩ���
�ҡ�ԴẺ�����ʴ���� 5 ��������ç��ҧ ��ͧ�� 5 ���������ҹ��Ҵ��� �֧����� 360/5 �� ��⨷�������͡������� �����������ҧ�ä�Ѻ����� 5 ���������ҹ��� ú�ǹ������� ���д��ٻ��������Ҩ���
5 ���������ҹ��� �Ѻ 5 ���������ҹ������ �ѧ�� �����������㹡���ҡѹ����դ�Ѻ:) (���س����ҡ�� ��˹���5���������ҹ��� �����ѹ�Դ������駤�Ѻ)
�������ԧ�ѹ���Ըվ��٨���Ѻ (�����������)
2821
$(A+1+2)+(B+3+4)+(C+5+6)+(D+7+8)+(E+9+10) = 5 \times 180$
$(A+B+C+D+E) + 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 5 \times 180$
$(A+B+C+D+E) + (180-T)+(180-P)+(180-P)+(180-Q)+(180-Q)+(180-R)+(180-R)+(180-S)+(180-S)+(180-T) = 5 \times 180$
$(A+B+C+D+E) + (10\times 180) -2(P+Q+R+S+T) = 5\times 180$
$(A+B+C+D+E) = (5\times 180) - (10\times 180) +2(P+Q+R+S+T) $
$(A+B+C+D+E) = 2(P+Q+R+S+T) - (5\times 180) $
$(A+B+C+D+E) = 2(3\times 180) - (5\times 180) \ \ \ $ (���������������������ѹ��ҡѺ 3x180 ͧ��)
$(A+B+C+D+E) = 180 \ \ \ $ Q.E.D.
//www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2821
$(A+1+2)+(B+3+4)+(C+5+6)+(D+7+8)+(E+9+10) = 5 \times 180$
$(A+B+C+D+E) + 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 5 \times 180$
$(A+B+C+D+E) + (180-T)+(180-P)+(180-P)+(180-Q)+(180-Q)+(180-R)+(180-R)+(180-S)+(180-S)+(180-T) = 5 \times 180$
$(A+B+C+D+E) + (10\times 180) -2(P+Q+R+S+T) = 5\times 180$
$(A+B+C+D+E) = (5\times 180) - (10\times 180) +2(P+Q+R+S+T) $
$(A+B+C+D+E) = 2(P+Q+R+S+T) - (5\times 180) $
$(A+B+C+D+E) = 2(3\times 180) - (5\times 180) \ \ \ $ (���������������������ѹ��ҡѺ 3x180 ͧ��)
$(A+B+C+D+E) = 180 \ \ \ $ Q.E.D.
�ش�ʹ��Ѻ��ҹ ������������
//www.uptopic.net/upload/global/10-12/hqntcrob.png
�����繵�ͧ�֡��Ҵ������
$b+e = x$
$a+d = y$
$c+x+y = 180$ ��
//doc-0o-58-docs.googleusercontent.com/docs/secure/lg1bvlmogph8r764s8ir7ncgdjhmnmbk/08002pd40ej9u382e74eehaerchgqacp/1269950400000/09443255591267896295/09443255591267896295/0B-I6Ruq3vTB1NmRkZTgxYjEtNDk5Mi00YTEyLTgyMTMtMDEwYjYzMTQ5NmRk?nonce=67vmmh685vnou&user=09443255591267896295&hash=3p5tdp28jid7kt3nao3kpm6otgbku4r3
����Ţ�ӴѺ��� 2010 �����Ţ����
$1,-2,2,-3,3,-3,4,-4,4,-4,5,-5,5,-5,5,-6,6,-6,6,-6,6,.....$
�����繵�ͧ�֡��Ҵ������
$b+e = x$
$a+d = y$
$c+x+y = 180$ ��
��������ǤԴ�ͧSiren-Of-Step ����س����� �����¹͡��ҡѺ������㹷������ç��������ѹ
����ٻ��Ѻ
2822
����Ţ�ӴѺ��� 2010 �����Ţ����
$1,-2,2,-3,3,-3,4,-4,4,-4,5,-5,5,-5,5,-6,6,-6,6,-6,6,.....$
�ѧ���Ѻ������ӴѺ����Ѻ ���¶֧����
����ִ "," �繵�����ӴѺ
1, ���ӴѺ���1
-2, ���ӴѺ���2
2, ���ӴѺ���3
-3, ���ӴѺ���4
.
.
.
��ҹѺẺ��� ������� ����Ţ���˹觷�� 2010 ��ͪش�ͧ 63 �������㹵��˹觤�� �֧�� - (ź)
\(\overbrace{-63}^{���˹觷�� 2010}\) +63, -63, +63, -63, +63, \(\overbrace{-63}^{���˹觷�� 2016}\)+ 64
���ҹѺ�ӴѺ��Ẻ��� ���ͧ�Դ����
�ѧ���Ѻ������ӴѺ����Ѻ ���¶֧����
����ִ "," �繵�����ӴѺ
1, ���ӴѺ���1
-2, ���ӴѺ���2
2, ���ӴѺ���3
-3, ���ӴѺ���4
.
.
.
��ҹѺẺ��� ������� ����Ţ���˹觷�� 2010 ��ͪش�ͧ 63 �������㹵��˹觤�� �֧�� - (ź)
\(\overbrace{-63}^{���˹觷�� 2010}\) +63, -63, +63, -63, +63, \(\overbrace{-63}^{���˹觷�� 2016}\)+ 64
���ҹѺ�ӴѺ��Ẻ��� ���ͧ�Դ����
���㨶١���Ǥ�Ѻ �ӵͺ��١����
�ͺ�����Ѻ ��Ң���Դ���ҧ�� ���м��ͧ����͡
���Ҿ�鹷������������ X
//www.uppicweb.com/x/i/iy/6p3t2.jpg
�ѧ���Ѻ������ӴѺ����Ѻ ���¶֧����
��ҹѺẺ��� ������� ����Ţ���˹觷�� 2010 ��ͪش�ͧ 63 �������㹵��˹觤�� �֧�� - (ź)
���ҹѺ�ӴѺ��Ẻ��� ���ͧ�Դ����
�س banker �����ö֧���������� 63 ���� ���˹觷�� 2010 ��Ѻ
�س banker �����ö֧���������� 63 ���� ���˹觷�� 2010 ��Ѻ
����حҵ�ͺ᷹���������Դ�Ф�Ѻ
���ѧࡵ�������
�Ţ 1 �� 1 ���
�Ţ 2 �� 2 ���
�Ţ 3 �� 3 ���
�Ţ 4 �� 4 ���
....
....
�Ţ n �� n ���
������ͧ�ӹǹ����Ţ�����������
$1 + 2 + 3 + 4 +...+ n$
�ҡ
$1 + 2 + 3 + 4 +...+ n = \frac{n(n+1)}{2}$
⨷������ҵ�Ƿ�� 2010
$\frac{n(n+1)}{2} \geqslant 2010$
$n(n+1) \geqslant 4020$
$63(63+1) \geqslant 4020$
����� n = 63 ��Ҩ���ӹǹ����Ţ��������
$\frac{63(63+1)}{2} = 2016$
�ѧ��鹵���Ţ�������˹觷�� 1954 - 2016 ��� 63
���Ǩҡ⨷����ѧࡵ������ҵ��˹觤����ź �ѧ��鹵��˹� 2010 ��� -63
$���X^2=2X+\frac{7}{2} ���� X^3 ������$
�.$15X+7$
�.$15X+\frac{7}{2}$
�.$\frac{15X}{2}+\frac{7}{2}$
�.$\frac{15X}{2}+7$
�ͺ �. �����Ҥ�Ѻ
�ͺ�����Ѻ ��Ң���Դ���ҧ�� ���м��ͧ����͡
���Ҿ�鹷������������ X
//www.uppicweb.com/x/i/iy/6p3t2.jpg
⨷�����й��ѹ���ŷ���ͧ��è�������¡�õ������
HINT
���ѵ����ǹ��鹷�����ѵ����ǹ��ҹ����Դ����ª��
2823
$���X^2=2X+\frac{7}{2} ���� X^3 ������$
�.$15X+7$
�.$15X+\frac{7}{2}$
�.$\frac{15X}{2}+\frac{7}{2}$
�.$\frac{15X}{2}+7$
�ͺ �. �����Ҥ�Ѻ
$X^2=2X + \frac{7}{2}.....1$
$1 x X:$
$X^3=2X^2 + \frac{7X}{2}$
$X^3=2(2X + \frac{7}{2})+\frac{7X}{2}$
$X^3=4X + \frac{7X}{2} + 7$
$X^3=\frac{15X}{2} + 7$
$X^2=2X + \frac{7}{2}.....1$
$1 x X:$
$X^3=2X^2 + \frac{7X}{2}$
$X^3=2(2X + \frac{7}{2})+\frac{7X}{2}$
$X^3=4X + \frac{7X}{2} + 7$
$X^3=\frac{15X}{2} + 7$
:great: :great: :great:
[QUOTE=banker;83682]⨷�����й��ѹ���ŷ���ͧ��è�������¡�õ������
HINT
���ѵ����ǹ��鹷�����ѵ����ǹ��ҹ����Դ����ª��
//www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2823
�ͺ�س��Ѻ ����������� ��觷�Һ����ա�Ẻ������
$X^2=2X + \frac{7}{2}.....1$
$1 x X:$
$X^3=2X^2 + \frac{7X}{2}$
$X^3=2(2X + \frac{7}{2})+\frac{7X}{2}$
$X^3=4X + \frac{7X}{2} + 7$
$X^3=\frac{15X}{2} + 7$
�������Ф�Ѻ
��Һ�÷Ѵ��� 1 ��
ABCD ��� CEFG ������������������ EF ��� 12 ��. ���Ҿ�鹷������
//www.uppicweb.com/x/i/iu/y83z1.jpg
ABCD ��� CEFG ������������������ EF ��� 12 ��. ���Ҿ�鹷������
//www.uppicweb.com/x/i/iu/y83z1.jpg
AB �������ä�
ABCD ��� CEFG ������������������ EF ��� 12 ��. ���Ҿ�鹷������
//www.uppicweb.com/x/i/iu/y83z1.jpg
�ͺ 144 ���ҧ��.
2826
��鹷������ = $\frac{1}{2}$ \(\unicode{8450} \)$ABEH-\bigtriangleup GEF-$\(\unicode{8450} \)$DGFH-\bigtriangleup ADG = 144$���ҧ��.
⨷������ҹ �ѧ�Դ�Ѵ���� ����˹��¤�Ѻ
ö��÷ء�ѹ˹������ԡ�â����Թ��������ҧ���ͧ A �Ѻ ���ͧ B
��Һ�÷ء�Թ�������ѹö ������� 250 �������õ���ѹ
������ö���� ������� 350 �������õ���ѹ
���ö�ѹ������Թ��Ҩҡ���ͧ A ����ͧ B ���С�Ѻ 3 ����� (����Թ������ ��Ѻ��ö����) ������ 5 �ѹ
(��觵�ʹ�����ش�ѡ ���Ң��Թ��Ң��ŧ�� 0 �������)
������ ���ͧ A ������ҧ���ͧ B ����������
#215
��������зҧ�����ҧ�ͧ���ͧ����� d km
�˹���ѹ ö������Թ����Թ�ҧ�� 250 km/�ѹ �ѧ��� �������Թ�ҧ����зҧ d km �� d/250 �ѹ
㹷ӹͧ���ǡѹ ö�����Թ�ҧ�� 350 km/�ѹ �ѧ��� �������Թ�ҧ����зҧ d km �� d/350 �ѹ
�Թ�ҧ仡�Ѻ�������� ������ 5 �ѹ ��蹤�� 3(d/250+d/350)=5
�֧�ç��� ����ͧ�����ǹФ�Ѻ
#215
��������зҧ�����ҧ�ͧ���ͧ����� d km
�˹���ѹ ö������Թ����Թ�ҧ�� 250 km/�ѹ �ѧ��� �������Թ�ҧ����зҧ d km �� d/250 �ѹ
㹷ӹͧ���ǡѹ ö�����Թ�ҧ�� 350 km/�ѹ �ѧ��� �������Թ�ҧ����зҧ d km �� d/350 �ѹ
�Թ�ҧ仡�Ѻ�������� ������ 5 �ѹ ��蹤�� 3(d/250+d/350)=5
�֧�ç��� ����ͧ�����ǹФ�Ѻ
����Դ�ǹ�� ��ӵͺ��� ���зҧ A �֧ B ��ҡѺ $243\frac{1}{18}$ ��������
���������� �����������
�ͺ 144 ���ҧ��.
//www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2826&d=1270030749
��鹷������ = $\frac{1}{2}$ \(\unicode{8450} \)$ABEH-\bigtriangleup GEF-$\(\unicode{8450} \)$DGFH-\bigtriangleup ADG = 144$���ҧ��.
�ԸդԴ�١���� ��ӵͺ�ѧ���١��Ѻ
2826
��鹷������ =[ABCD]+[CDFG]-[ABE]-[EFG]-[ADG]
$=(x+12)^2+12^2-\frac{(x+12)(x+24)}{2}-\frac{(12)(12)}{2}-\frac{x(x+12)}{2}$
$=x^2+24x+144+144-\frac{x^2}{2}-18x-144-72-\frac{x^2}{2}-6x$
$=72$ ��.��.
�ԸդԴ�١���� ��ӵͺ�ѧ���١��Ѻ
�� �� �����Ҩ��� �ٳ�ͧ�����������ͧ
(�ͧ�ѹ��Ҵ�ѹ�� ���������)
���������ҹ������Ẻ��� ��ⴹ... ����� :haha:
ú�ǹ���ԸդԴ����˹��¤�Ѻ �٨ҡ�ٻ�������� 1:5 ���ѧ���Ըվ��٨�������
ABCD ������������������ P,Q,R ��� S �繨ش��觡�ҧ�ͧ��ҹ AB,BC,CD ��� DA ����ӴѺ �����ѵ����ǹ�ͧ��鹷�����ҵ�;�鹷�������
//www.uppicweb.com/x/i/ib/89ev1.jpg
1) A �͡���͡�о������ 5 �١����� 3 �ҷ�
B �͡���͡�о������ 3 �١����� 5 �ҷ�
������о���Ƿ���ͧ���¡ѹ�͡���͡������ 70 �١ �µ�ҧ����ҧ�͡ ��з���ͧ������͡�о���Ǿ�����ѹ ����ͻ͡�о���Ƿ�� 70 �١����� ��ҡ��Һ��� A ��� B �͡�о�����餹�С���١��������Ҥ��С��ҷ�
2) ����ǹ��˹�觵�ͧ��ù��蹫�����좹Ҵ 40x40 ��.��. �һ����ͷӷҧ�Թ�ͺ�ǹ��ǹǹ�ͧ�� �ҡ�ǹ��觹���դ������ 160 ���� ����վ�鹷�� 4 ��� ��ҡ��Һ��ҵ�ͧ���蹫����������
HINT ����á
2828
HINT �����ѧ
2829
ú�ǹ���ԸդԴ����˹��¤�Ѻ �٨ҡ�ٻ�������� 1:5 ���ѧ���Ըվ��٨�������
ABCD ������������������ P,Q,R ��� S �繨ش��觡�ҧ�ͧ��ҹ AB,BC,CD ��� DA ����ӴѺ �����ѵ����ǹ�ͧ��鹷�����ҵ�;�鹷�������
//www.uppicweb.com/x/i/ib/89ev1.jpg
����⨷������ԡ����дѺ��ж�
Ժ��Ẻ��ж�
��������������ҡѹ�ء��С��
2830
����⨷������ԡ����дѺ��ж�
Ժ��Ẻ��ж�
��������������ҡѹ�ء��С��
//www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2830&d=1270087812
�������Ըչ�����Ф�Ѻ ��⨷��͡����ʴ��Ըշ� �������١���
1) A �Ѻ B �Ѻ�ӧҹ���˹�觵�ŧ�ѹ��Ҩ��觧ҹ�ѹ�Ӥ��Ф��� A ������ӧҹ��������� 9.00 �. ��ǹ B ������ӧҹ��������� 10.30 �. ����ͧ����ش�ѡ��������§�ѹ (12.00 �.) ��ҡ���ҷ���ͧ���ӧҹ������ѹ�� $1\over3$ �ͧ�ҹ������ �͵���·���ͧ��������ӧҹ������ѹ��������� 13.00 �. A �ӧҹ��ǹ�ͧ���������� 16.00 �. ��ҡ��Һ��� B �зӧҹ��ǹ�ͧ����������ҡ����ԡ�
2) ��� n �繨ӹǹ�Ѻ �������ô��� 247 ��� 248 �������� 63 ��ҡѹ ����������� n ��ô��� 26
1) A �Ѻ B �Ѻ�ӧҹ���˹�觵�ŧ�ѹ��Ҩ��觧ҹ�ѹ�Ӥ��Ф��� A ������ӧҹ��������� 9.00 �. ��ǹ B ������ӧҹ��������� 10.30 �. ����ͧ����ش�ѡ��������§�ѹ (12.00 �.) ��ҡ���ҷ���ͧ���ӧҹ������ѹ�� $1\over3$ �ͧ�ҹ������ �͵���·���ͧ��������ӧҹ������ѹ��������� 13.00 �. A �ӧҹ��ǹ�ͧ���������� 16.00 �. ��ҡ��Һ��� B �зӧҹ��ǹ�ͧ����������ҡ����ԡ�
2) ��� n �繨ӹǹ�Ѻ �������ô��� 247 ��� 248 �������� 63 ��ҡѹ ����������� n ��ô��� 26
2) �ͺ 11 �������Ҥ�Ѻ(((247x248)+63)/26):)
2) �ͺ 11 �������Ҥ�Ѻ((247x248)+63/26):)
�١��ͧ��Ѻ
1) A �Ѻ B �Ѻ�ӧҹ���˹�觵�ŧ�ѹ��Ҩ��觧ҹ�ѹ�Ӥ��Ф��� A ������ӧҹ��������� 9.00 �. ��ǹ B ������ӧҹ��������� 10.30 �. ����ͧ����ش�ѡ��������§�ѹ (12.00 �.) ��ҡ���ҷ���ͧ���ӧҹ������ѹ�� $1\over3$ �ͧ�ҹ������ �͵���·���ͧ��������ӧҹ������ѹ��������� 13.00 �. A �ӧҹ��ǹ�ͧ���������� 16.00 �. ��ҡ��Һ��� B �зӧҹ��ǹ�ͧ����������ҡ����ԡ�
2) ��� n �繨ӹǹ�Ѻ �������ô��� 247 ��� 248 �������� 63 ��ҡѹ ����������� n ��ô��� 26
�ͧ��ٻ�ͧ�ç�ҹ��
A �ӧҹ $\frac{1}{2}$ ��ҷ� 3 ������� ���·��ա 3 �������
�ʴ���� ��ǧ��� A �� $\frac{1}{4}$ �ͧ�ҹ ��к��·��ա $\frac{1}{4}$ �ͧ�ҹ
�ѧ��鹪�ǧ��� B �� $\frac{1}{3}-\frac{1}{4} = \frac{1}{12} $ �ͧ�ҹ (������ 1.5 �������)
��ǧ���� B �ӧҹ $\frac{2}{3}-\frac{1}{4} = \frac{5}{12}$ �ͧ�ҹ
$\frac{1}{12} $ �ͧ�ҹ B ������ 1.5 �������
$ \frac{5}{12}$ �ͧ�ҹ B ������ $ 5 \times 1.5 = 7.5 $ �������
B �ӧҹ���� $13.00+ 7.5 = 20.5 = 20 : 30$ �
�اầ��ͺ�� TOT:cry:
//www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2831&d=1270100456
���ͺ���⨷��Ẻ�ٻ�ա��ͤ�Ѻ �ѹ����ͧ����͡��Ҩ�������ѧ�
$\bigtriangleup ABC$, BC=6BD, AC=5EC, DG=GH=HE, AF=FG �����ѵ���ǹ�ͧ $\bigtriangleup FGH$ ��� $\bigtriangleup ABC$
//www.uppicweb.com/x/i/if/hjhr1.jpg
���ͺ���⨷��Ẻ�ٻ�ա��ͤ�Ѻ �ѹ����ͧ����͡��Ҩ�������ѧ�
$\bigtriangleup ABC$, BC=6BD, AC=5EC, DG=GH=HE, AF=FG �����ѵ���ǹ�ͧ $\bigtriangleup FGH$ ��� $\bigtriangleup ABC$
//www.uppicweb.com/x/i/if/hjhr1.jpg
������鹨ҡ 4x ��������鹷����������������ѵ����ǹ��ҹ
2832
������鹨ҡ 4x ��������鹷����������������ѵ����ǹ��ҹ
//www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=2832&d=1270104794
���ɹФ�Ѻ����Һ 4x �Ҩҡ�˹��Ѻ
���ɹФ�Ѻ����Һ 4x �Ҩҡ�˹��Ѻ
���ص���Ҥ�Ѻ
������� x ������ ������������������Ǩ��ըش�ȹ��� (�����ͺ)
���ص���Ҥ�Ѻ
������� x ������ ������������������Ǩ��ըش�ȹ��� (�����ͺ)
OK, I See..
���������õ�駢�حҵ��駵�����ǡѹ
���������������ͧ��赹������������ѹ�����ҳ 200 �������� �µ�á���Ф��������ͧ�繨ӹǹ $1\over2$, $1\over3$, $1\over6$ �ͧ�����ͧ����������ѹ����ӴѺ �ҡ������Ф�����Ժ�����ͧ�͡�Ҩҡ�ͧ����� ���Ǥ��á������ͧ�ӹǹ $1\over2$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� ������ͧ������ͧ�ӹǹ $1\over3$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� ��������������ͧ�ӹǹ $1\over6$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� �ҡ�������ͧ���١��ҷ����� ��������Ф�����ѹ �з�������Ф��������ͧ��ҡѺ�����ͧ��赹�ͧ������㹵�á ��ҡ��Һ����������ͧ������������ҧ���¡������
���������õ�駢�حҵ��駵�����ǡѹ
���������������ͧ��赹������������ѹ�����ҳ 200 �������� �µ�á���Ф��������ͧ�繨ӹǹ $1\over2$, $1\over3$, $1\over6$ �ͧ�����ͧ����������ѹ����ӴѺ �ҡ������Ф�����Ժ�����ͧ�͡�Ҩҡ�ͧ����� ���Ǥ��á������ͧ�ӹǹ $1\over2$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� ������ͧ������ͧ�ӹǹ $1\over3$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� ��������������ͧ�ӹǹ $1\over6$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� �ҡ�������ͧ���١��ҷ����� ��������Ф�����ѹ �з�������Ф��������ͧ��ҡѺ�����ͧ��赹�ͧ������㹵�á ��ҡ��Һ����������ͧ������������ҧ���¡������
⨷�����ҧ��Ѻ�Ѻ���Թ��ж� ����������дѺ�Ѹ������������´
2838
�µ�á���Ф��������ͧ�繨ӹǹ $1\over2$, $1\over3$, $1\over6$ �ͧ�����ͧ����������ѹ����ӴѺ ---> �ٻ �.
�ҡ������Ф�����Ժ�����ͧ�͡�Ҩҡ�ͧ����� ---> �ٻ �. --> $a+b+c = x$ ....(*)
���á������ͧ�ӹǹ $1\over2$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� ������ͧ������ͧ�ӹǹ $1\over3$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� ��������������ͧ�ӹǹ $1\over6$ �ͧ�����ͧ�������Ժ�� ---> �ٻ �.