โจทย์ การแผ่รังสี ของวัตถุ ดํา พร้อม เฉลย

เรียนฟิสิกส์ให้สนุกและได้รับความรู้

Privacy & Cookies: This site uses cookies. By continuing to use this website, you agree to their use.
To find out more, including how to control cookies, see here: Cookie Policy

4. ความเข้มของพลังงานที่แผ่ออกมาจะมีค่าน้อยที่ความยาวคลื่นสั้นมาก และที่ความยาวคลื่นยาวมาก จะมีความเข้มของพลังงานสูงสุดเมื่อความยาวคลื่นmaxโดยยิ่งถ้าอุณหภูมิสูงขึ้นมากเท่าใด ความยาวคลื่นmaxจะยิ่งมีค่าน้อยลง

ในชีวิตประจำวันเราคงเคยเจอเหตุการณ์ดังรูปด้านบนอย่างแน่นอน วัตถุ เช่น เหล็ก หรือ ถ่าน เมื่อเผาไฟแล้วจะเกิดการเปล่งแสง(คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า) ยิ่งร้อนสีที่เราเห็นยิ่งสว่างขึ้น ในรูปด้านบนนั้นตะปูที่ถูกเผาด้วยไฟ(สีฟ้าของไฟนั้นเกิดจากกระบวนการทางเคมี) ส่วนที่โดนไฟตรงๆนั้นจะมีสีสว่างออกขาวมาก ต่ำลงไปจะออกเหลือง และออกแดงๆตามลำดับ หากเราดูความสัมพันธ์ระหว่างสีของแสงและอุณหภูมิ(เคลวิน) ดังรูปด้านล่าง

สีของแสงที่เรามองเห็นเป็นแค่ส่วนหนึ่งของสเปกตรัมของแสงที่เป็นไปได้ดังรูปด้านล่าง

คำถามที่น่าสนใจคือ ไม่ว่าจะเป็นเหล็กหรือถ่านไม้ พฤติกรรมของเปล่งแสงเมื่อถูกทำให้ร้อนนั้นเหมือนกัน หรือพูดอีกอย่างว่า แผ่รังสีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าหรือแผ่รังสีความร้อนของวัตถุนั้นไม่ได้ขึ้นกับว่าวัตถุนั้นประกอบขึ้นจากอะไรแต่กลับขึ้นกับอุณหภูมิ เช่น ณ อุณหภูมิประมาณ 5500 K(ผิวดวงอาทิตย์) ทั้งเหล็กและถ่านไม้จะเปล่งแสงขาวเหมือนกัน 

เป็นที่เข้าใจกันดีอยู่แล้วว่าสำหรับวัตถุที่มีอุณหภูมิสูงกว่าศูนย์องศาสัมบูรณ์จะแผ่รังสีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า(รังสีความร้อน) อันนี้เนื่องมาจากวัตถุนัันประกอบขึ้นมาจากอะตอมในรูปแบบที่ยุ่งยากขึ้นกับชนิดวัสุด และอะตอมนั้นประกอบขึ้นมาจากประจุ หากเรามองภาพง่ายๆคือ ประจุสั่นไปมาจะปล่อยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจากทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า และประจุสั่นเนื่องจากความร้อนที่ป้อนให้กับวัสดุ

ปกติแล้วเมื่อคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า(แสง)ตกกระทบวัสดุนั้น จะเกิดการสะท้อน ส่งผ่าน และดูดกลืน แต่ละส่วนมากน้อยขึ้นกับชนิดของวัสดุ เช่น

• แก้วนั้นนั้นแสงจะทะลุผ่านได้ดีมากๆ อธิบายง่ายๆคือ ประจุหรืออิเล็กตรอนนั้นโดนยึดไว้ในอะตอมดังนั้นการตอบสนองในรูปของการสั้นต่อคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่เข้ามามีจำกัดและไม่ได้เป็นช่วงแสงที่มองเห็น ดังนั้นมันจึงไม่ตรงกันและแน่นอนว่าไม่ดูดกลืน
• ผิวโลหะที่เป็นประกายจะสะท้อนแสงได้ดี เนื่องจากในโลหะนั้นมีอิเล็กตรอนอิสระ ดังนั้นอิเล็กตรอนเหล่านี้จะโดนกระตุ้นโดยคลื่นแสงแม่เหล็กไฟฟ้าที่เข้ามาเกิดการสั่นไปมาโตกว่าขนาดของอะตอม(mean free path โต) เกิดการเหนี่ยวนำให้เกิดกระแสอันนำไปสู่การแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าซึ่งก็คือแสงที่สะท้อนออกมา(แค่บางส่วนของคลื่นแสงที่โดนดูดกลืนเป็นความร้อนในวัสดุ)
• ผงถ่านสีดำนั้นจะดูดกลืนคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าได้ดีมากๆและเปลี่ยนไปเป็นความร้อน อันเนื่องมาจากอิเล็กตรอนอิสระนั้นมี mean free path สั้นมากๆกรณีนั้น ดังนั้นมันจะเคลื่อนที่ได้ไม่ไกลและจะชนสิ่งแวดล้อม เช่น คอร์อะตอม ไปมาๆ เกิดการส่งถ่ายพลังงานจากคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าไปเก็บในรูปความร้อน

คำถามที่น่าสนใจคือ แล้ววัสดุที่ดูดกลืนคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าได้ดีนั้นจะแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าได้ดีด้วยมั้ย เช่น ในกรณีผงถ่าน ตรงนี้เหมือนกระบวนการกลับด้าน หากคอร์อะตอมนั้นสั่นมากๆ เมื่ออิเล็กตรอนเข้ามาชน(ชนบ่อยเพราะ mean free path สั้น)จะรับพลังงานไปทำเกิดความเร่งและเกิดการปล่อยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า สำหรับกรณีโลหะปกตินั้น mean free path ของอิเล็กตรอนโต อัตราการชนก็จะน้อยหน่อย ยังผลให้การแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าไม่ดีเท่าผงถ่าน

ตรงนี้เราอาจจะสรุปตามที่เคอร์ชอฟฟ์พิสูจน์ไว้ว่า “A body emits radiation at a given temperature and frequency exactly as well as it absorbs the same radiation” ตรงนี้เราคิดตามง่ายว่าหากไม่เป็นไปตามนี้ เมื่อเราเอาวัตถุหลายชิ้นว่างไว้ในห้อง ผ่านไปซักพักหนึ่งบางส่วนนั้นย่อมเย็นลงและบางส่วนจะร้อนขึ้น ซึ่งผิดหลักเทอร์โมไดนามิกซ์เพราะอยู่ดีๆเราก็ได้เครื่องจักรความร้อนมาฟรี! ดังนั้นสถานะการณ์อย่างนี้เป็นไปไม่ได้และสิ่งที่เคอร์ชอฟฟ์ว่าไว้เป็นจริงที่ว่า ณ อุณหภูมิหนึ่ง(สมมุลความร้อนกับสิ่งแวดล้อม)วัตถุจะอัตราการแผ่รังสีเท่ากับอัตราการดูดกลืน

เพื่อทำความเข้าใจธรรมชาติของการแผ่รังสีของวัตถุ เราอาจจะเริ่มต้นวิเคราะห์วัตถุในอุดมคติ(เทียบเหมือนเราศึกษาสมบัติก๊าซในอุดมคติ)ที่มีความสามารถในการดูดกลืนได้ 100 % และแผ่คลืนแม่เหล็กไฟฟ้าได้ 100 % ด้วย โดยเจ้าวัตถุนี้มีชื่อว่า “วัตถุดำ” ในธรรมชาติไม่มีวัตถุดำอยู่จริง แต่การแผ่รังสีความร้อนของวัตถุต่างๆนั้นก็ใกล้เคียง(ประมาณ)กับวัตถุดำ คำถามคือแล้วเราจะสร้างเจ้าวัตถุดำยังไง 

ในปี 1859 เคอร์ชอฟฟ์เสนอว่าสร้างโพรงแล้วทำการเจาะรู เมื่อคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าตกลงไปก็จะไปสะท้อนไปมาอยู่ในโพรง ออกมานิดหน่อย เทียบได้กับตัวดูดกลืน 100 % ในทางกลับกันหากเรามองเจ้าโพรงนี้เป็นเตาความร้อน โดยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจะออกมาทางรูอย่างเดียว ตรงนี้เราเปรียบรูเหมือนกับตัวแผ่รังสีความร้อนได้ดีแบบ 100% 

ทั้งนี้เคอร์ชอฟฟ์ตั้งคำถามว่า “how does the intensity of the electromagnetic radiation emitted by a black body (a perfect absorber, also known as a cavity radiator) depend on the frequency of the radiation (i.e., the color of the light) and the temperature of the body?” ตอนนั้นยังไม่มีใครอธิบายเชิงทฤษฎีเกี่ยวพฤติกรรมการแผ่รังสีของวัตถุดำตามกราฟด้านล่าง

กราฟระหว่างความยาวคลื่นและความเข้ม ของการแผ่รังสีของวัตถุดำ ณ อุณหภูมิต่างๆ

กราฟด้านบนบอกเราว่า สำหรับ ณ อุณภูมิ 6000 K วัตถุดำจะแผ่รังสีอออกมาทุกช่วงคลื่น แต่มากที่สุด(ดูที่จุดพีค)จะอยู่ในช่วงแสงมีเหลือง แน่นอนว่าหากอุณหภูมิตำลงกราฟก็จะเลื่อนไปทางขวามือเข้าสู่ช่วงอินฟราเรดซึ่งเรามองไม่เห็น เช่น รังสีความร้อนจากร่างกายเรา ภาพด้านล่างเป็นความร้อนที่แผ่ออกมาจากหมาน้อย

//www.encyclopedie-environnement.org/en/physics/thermal-radiation-of-black-body/

หลังจากการศึกษาของเคอร์ชอฟฟ์ก็มีความพยายามทำความเข้าใจพฤติกรรมการแผ่รังสีของวัตถุดำเป็นลำดับ ดังนี้

กฏของสเตฟาน (Stefan’s law)

ในปี 1879 ผลการทดลองชี้ไปนำว่า กำลัง

ของการแผ่รังสีจากหนึ่งหน่วยพื้นที่(ตารางเมตร)ที่มีอุณหภูมิ จะแปรผันตรงกับกำลัง 4 ของอุณหภูมิ

    โดยที่        คือ ค่าคงที่ของสเตฟาน

ในปี 1884 โบลท์สมานน์ ได้ทำการแสดงที่มาของกฏสเตฟานจากหลักการเทอร์โมไดนามิกซ์และทฤษฎีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวลล์ดังนี้

เราพิจารณาโพรงความร้อนที่เต็มไปด้วยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งมีความหนาแน่นพลังงาน

เราสนใจคำนวณหาความดันที่พนังโพรงอันเนื่องจากคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า(ตรงนี้เราคิดเหมือนกับกรณีก๊าซในอุดมคติ เพียงแต่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว

และพลังงาน ) คิดว่าคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้านั้นสะท้อนได้ 100 % ในทุกทิศทุกทาง เราจะได้

จากความสัมพันธ์ที่ว่า

 โดยที่ คือ พลังงานภายใน คือ เอนโทรปี ตอนนี้เรานิยามให้ความหนาแน่นพลังงาน และความหนาแน่นเอนโทรปี ดังนั้น

เนื่องจากปริมาตรไม่ได้ขึ้นกับอุณหภูมิ ดังนั้น

และพจน์ในวงเล็บจะให้ความสัมพันธ์ ดังนั้น

ดังนั้น

หรือ

นั้นเอง 

กฏของวีน (Wien’s law)

เขาพบว่าความถี่สูงสุดของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่แผ่ออกมาแปรผันตรงกับอุณหภูมิ

ซึ่งเขาสามารถพิสูจน์ความสัมพันธ์ด้านบนจากกฏของเทอร์โมไดนามิกซ์ดังนี้

เราสมมติให้โพรงนั้นเป็นกล่องสี่เหลี่ยมและกำลังขยายตัวแบบช้าๆๆๆที่เรียกว่า กระบวนการอเดียบาติก ไม่มีการไหลของความร้อนเข้าออกระบบ หากเราให้รังสีความร้อนที่อยู่ในกล่องสี่เหลี่ยมนี้เป็นคลื่นนิ่งเราจะพบว่าการเปลี่ยนแปลงความยาวคลื่นสัมพันธ์กับปริมาตรดังนั้น

(การได้มาซึ่งความสัมพันธ์ด้านบนนั้นค่อนข้างยาวเพราะต้องวิเคราะเรื่องปรากฏการณ์ดรอปเปอร์ด้วยจึงขอละไว้ หากใครสนใจตามไปอ่านได้ที่นี้เลยครับ)ดังนั้นเราจะได้

จากกฏของสเตฟานเรารู้ว่า

ดังนั้นสำหรับกระบวนการอเดียบาติก

จะได้

และเรามีความสัมพันธ์

แต่เนื่องจากความดันเนื่องจากการแผ่รังสี

จะได้

กำหนดให้คลื่นรังสีความร้อนที่มีความถี่อยู่ในช่วง

สำหรับปริมาตรที่เพิ่มขึ้นจาก ไปเป็น และสำหรับอุณหภูมิที่เพิ่มขึ้นจาก ไปเป็น ความถี่จะเปลี่ยนไปจาก เป็น เราพบว่าจากความสัมพันธ์ ,  และ เราจะมี

    และ        

ตอนนี้เรากำหนดให้

คือ ความหนาแน่นพลังงานของคลื่นรังสีความร้อนในช่วง ดังนั้นจากกฏของสเตฟานจะได้ ดังนั้น

ทำการนิยามตัวแปรใหม่ดังนั้น กำหมดให้

, และ เราจะได้ความสัมพันธ์

หรือเปลี่ยนให้ตัวคุณด้านหน้าขึ้นกับความถี่

ซึ่งฟังก์ชัน

นั้นยังต้องหาต่อไป อย่างไรก็ตามเราพบว่า นั้นมีค่ามากสุดเมื่อ จะได้

   โดย    

หากเราสมมติให้มีเพียง

ค่าเดียวที่ทำให้สมการด้านบนเป็นจริงซึ่งเรียกว่า  ค่าวิกฤต ซึ่งนำไปสู่กฏของวีนนั้นเอง (อีกรูปหนึ่งคือ )

ทั้งนี้วีนนั้นได้เสกฟังก์ชัน ซึ่งทำให้

อยู่ในรูป

โดยที่

และ คือ ค่าคงที่ ทั้งนี้รูปนี้ของความหนาแน่นของพลังงานนั้นสอดคล้องกับผลการทดลอง ณ ขณะนั้นซึ่งมีแค่ในช่วงอุณหภูมิไม่เกิน  4000 K ในตอนหลังมีผลการทดลองสำหรับอุณหภูมิที่สูงขึ้นทำให้สิ่งที่วีนเสกมานั้นใช่ไม่ได้อีกต่อไป แต่ทั้งนี้ก็ถือว่าเป็นพื้นฐานของการต่อยอดได้เป็นอย่างดี

เราเห็นได้ว่าที่ผ่านมานั้นคลาสสิคัลฟิสิกส์ไม่ประสบความสำเร็จในการอธิบายการแผ่รังสีความร้อนของวัตถุดำ ทั้งนี้ ณ ช่วงเวลานั้น ฟิสิกส์อยู่ในยุคเฟื่องฟูของทฤษฎีกลศาสตร์ของนิวตัน ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า และเทอร์โมไดนามิกซ์ จนมีคำพูดที่ว่า (แหล่งที่มาไม่รู้ บางก็ว่าจากเคลวินได้กล่าวไว้ ณ British Association for the Advancement of Science ณ ปี 1900)

“There is nothing new to be discovered in physics now. All that remains is more and more precise measurement”

ทั้งนี้ ไมเคลสัน ได้กล่าวอะไรทำนองเดียวกันในปี 1894

“[I]t seems probable that most of the grand underlying principles have now been firmly established and that further advances are to be sought chiefly in the rigorous application of these principles to all the phenomena which come under our notice…. An eminent physicist has remarked that the future truths of physical science are to be looked for in the sixth place of decimals”

และในปี 1903

“The more important fundamental laws and facts of physical science have all been discovered, and these are so firmly established that the possibility of their ever being supplanted in consequence of new discoveries is exceedingly remote…. [I]nstances might be cited, but these will suffice to justify the statement that “our future discoveries must be looked for in the sixth place of decimals””

ชายผู้มาปฎิวัติความเข้าใจ มักซ์ พลังค์

ในปี 1900 พลังงค์ ทำการสืบค้นต่อไปเกี่ยวกับการแผ่รังสีของวัตถุดำ(ทั้งที่คนส่วนใหญ่ในวงการนั้นอาจจะไม่ได้สนใจ เพราะคิดว่าไม่มีอะไรให้ค้นพบใหม่ๆอีกต่อไป) ครั้งหนึ่งตอนพลังค์หนุ่มๆ เขาเคยถามปรึกษาศาสตร์จารย์ ฟิลลิป วอน โจลี เกี่ยวสายงานฟิสิกส์ ซึ่ง วอน โจลี บอกเขาว่าฟิสิกส์นั้นแทบไม่เหลือให้ทำแล้ว อืม แต่ด้วยโชคชะตาของพลังค์ที่เขาไม่ได้รับคำแนะนำแล้วไปทำอย่างอื่นแต่กลับยังคงมุ่งมั่นต่อไปเพื่อเข้าใจฟิสิกส์ให้ลึกลงไป

ตอนที่พลังค์สนใจการแผ่รังสีของวัตถุดำนั้นเขาอายุ 40 และเป็นศาสตราจารย์ ณ มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน งานวิจัยของเขาก่อนหน้านั้นเกี่ยวข้องกับเทอร์โมไดนามิกซ์ ซึ่งเขาเชื่อว่าเทอร์โมไดนามิกซ์น่าจะเป็นคำตอบของธรรมชาติพื้นฐาน(อีกทั้งผลการศึกษาของ สเตฟานและวีน ก็เหมือนจะแนะนำไปในทางนั้น) 

เขาเริ่มพิจารณาว่าผนังของโพรงนั้นประกอบด้วยประจุสั่นไปมาจำนวนมากมาย ซึ่งแผ่รังสีความร้อนออกมาในโพรง และเจ้าประจุเหล่านี้ก็รับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเข้าไปสั่นไปมา มองได้ว่า ณ อุณหภูมิหนึ่ง รังสีความร้อนและการสั่นของประจุไฟฟ้าที่ผนังของโพรงอยู่ในสมดุลความร้อน

พลังค์เริ่มต้นการวิเคราะห์ของเขาโดยให้ประจุที่ผนังมีพฤติกรรมการสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ประมาณง่ายเป็น มวล

ติดสปริง มีแรงดึงกลับในรูป โดยเจ้าตัวสั่นนี้โดนกระตุ้นด้วยสนามไฟฟ้า สิ่งที่ต้องคำนึงถึงอีกอย่างหนึ่งคือ การที่ประจุมีความเร่งจะเกิดการแผ่รังสีทำให้เกิดการศูนย์เสียพลังงานตามทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าซึ่งสามารถเขียนในรูปแรงต้าน ดังนั้นสมการการเคลื่อนที่เขียนได้เป็น

พลังค์เสกให้

จะทำให้ปัญหากลายเป็น driven simple harmonic oscillator with viscous damping

โดย

 ปัญหานี้เป็นปัญหาพื้นฐาน พลังงานของตัวสั่นคือ โดยที่ คือ แอมปลิจูด

ดังนั้น

สมการของตัวสั่นข้างต้นอธิบายว่าตัวสั่นได้รับพลังงานจากสนามไฟฟ้าที่มีความถี่

และสูญเสียพลังงานแบบสม่ำเสมอ(ผ่านแดมป์)ซึ่งมองได้ว่าเป็นการแผ่รังสีความร้อนที่ความถี่ เหมือนกัน ดังนั้นระบบอยู่ในสมดุลความร้อน สำหรับสถานะการณ์ที่เหมือนจริงมากขึ้นสนามไฟฟ้านั้นต้องมีความถี่หลายค่าและจำนวนตัวสั่นของมีจำนวนมหาศาล การใส่สนามภาพนอกที่มีความถี่หลากหลายนั้นส่งผลในการพิจารณาสมการ ด้านบนนั้นต้องการอินทีเกรทตลอดช่วงค่า ที่เป็นไปได้รอบๆ ส่งผลให้ได้ความสัมพันธ์

แน่เนื่องจากมี 3 ทิศทางที่ต้องพิจารณาดังนั้น

ความหนาแน่นพลังงานนั้นเป็นไปตามความสัมพันธ์(ยกมาเลย)

จะได้

หากพิจารณารูปความถี่จะได้

ซึ่ง

คือ พลังงานของตัวสั่น จากนั้นเขาพิจารณาความสัมพันธ์ที่วีนพิสูจน์ได้ก่อนหน้านี้ ทำให้พลังค์ได้

และทำให้เขาหาเอนโทรปีของระบบได้เป็น(

)

เงื่อนไขหนึ่งคือ อนุพันธ์อันดับ 2 ของเอนโทรปีต้องติดลบ(เพื่อให้ได้เงื่อนไขว่าหากระบบโดนรบกวน โอนโทรปีจะเพิ่มขึ้นเมื่อเข้าสู่สมดุล) และพลังค์ได้ว่า

ซึ่งเป็นไปตามที่เขาคาดหวัง!

ข่าวร้ายนำไปสู่ข่าวดี ในเดือนตุลาคม 1990 มีการทดลองพบว่าความหนาแน่นพลังงานของรังสีความร้อนที่ความถี่ต่ำขึ้นกับ

ไม่ได้ขึ้นกับ และความหนาแน่นพลังงานแปรผันกับอุณหภูมิที่ความถี่ต่ำๆ ผลการทดลองนี้สร้างความงงให้กับพลังค์มาก แต่อย่างไรก็ดีสมการของเขายังใช่ได้ดีในช่วงความถี่สูง สำหรับในช่วงความถี่ต่ำเงื่อนไขการแบ่งเท่า(Equipartition)ทำให้ได้พลังงาน และนำไปสู่

คำคามคือแล้วรูปแบบไหนของ

ที่จะครอบคลุมเงื่อนไขทั้ง 2 ที่ความถี่คนละด้าน เขาพบว่าหากเขาเสก (เวทมนต์ชัดๆ!)

จะได้เงื่อนไขทั้ง 2 ด้านสุดของความถี่ต่ำและสูง(

) หากเราทำการอินทีเกรทจะสามารถหาได้ว่าเอนโทรปีอยู่ในรูป

และ

จะหาได้ว่า

และความหนาแน่นพลังงาน

โดยที่

คือ ค่าคงที่ของโบลท์มานน์ และ คือ ค่าคงที่ตัวใหม่ ซึ่งต่อมารู้จักกันในชื่อ ค่าคงที่ของพลังค์! ความสัมพันธ์ที่พลังค์ได้มานั้นมันสอดคล้องกับผลการทดลองอย่างน่าตกใจ อีกทั้งยังให้ผลของวีนที่ความถี่สูงๆ และแปรผันกับอุณหภูมิที่ความถี่ต่ำๆ สุดยอด(สุดยอดเกิดไป)

พลังค์ต้องการทำความเข้าใจถึงฟิสิกส์ที่ซ้อนอยู่เบื้องหลังสมการของเขา แน่นอนว่าเนื่องจากเขาบูชาเทอร์โมไดนามิกซ์ เขาก็เริ่มจากเอนโทรปีนี้ละ 

ความน่าสนใจคือเขาขโมยแนวคิดของโบลท์มานน์เกี่ยวกับแนวคิดของเอนโทรปี(ในช่วงเวลาใกล้เคียงกันความสนใจของโบลท์มานน์นั้นไปอยู่การสร้างความเข้าสมบัติฟิสิกส์เชิงสถิติของโมเลกุลหรืออะตอมจำนวนมากต่อมารู้จักกันในกลศาสตร์เชิงสถิติ แต่พลังค์ไม่ปลื้มเท่าไรเพราะมันทำให้เทอร์โมไดนามิกซ์ที่เขาบูชานั้นเป็นผลเฉลี่ยเชิงสถิติอะไรประมาณนั้น) ที่ว่า

 

โดยที่

คือ อองซัมเบิลของสถานะย่อยๆ หรือ จำนวนรูปแบบสถานะย่อยๆของระบบทั้งหมดที่เป็นไปได้ สำหรับตัวสั่นจำนวน เอนโทรปีคือ ดังนั้น

 

และ 

ซึ่ง ในสมการด้านบนบอกเราว่าสำหรับตัวสั่นจำนวน จะมีรูปแบบทั้งหมดที่อยู่ร่วมกันกี่แบบที่ทำให้พลังงานเป็น

ตรงนี้พลังค์นั้นนึกได้ว่ามันมีความคล้ายกับการที่เรามีของ ชิ้น(เหมือนกันหมด)และหาจำนวนวิธีในการนำไปใส่ในกล่อง กล่อง

สำหรับค่า และ   โตๆ จากสูตรของสเตอร์ลิงที่ว่า

ทำให้เราได้ว่า

นั้นหมายความว่า

ผลตรงนี้บอกพลังค์ว่าสำหรับตัวสั่น ตัว พลังงานทั้งหมดคือ

และประเด็นสำคัญคือ เอนโทรปีบอกว่าพลังงานที่กระจายระหว่างตัวสั่นนั้นอยู่รูปแบบก้อนขนาด พลังค์นำเสนอผลในเดือนธันวาคม 1900 แต่เหมือนจะไม่มีใครให้ความสนใจเท่าไรถึงแม้ว่ามันจะอธิบายกราฟของการแผ่รังสีได้เป็นอย่างดี ตัวพลังค์เองนั้นในครึ่งแรกของงานเขาที่อยู่บนพื้นฐานของเทอร์โมไดนามิกซ์เขาเชื่อว่าถูกต้อง แต่ตอนหลังที่พลังงานมีความไม่ต่อเนื่องสำหรับตัวสั้นนั้นมันขัดกับหลักการคลาสสิคัลฟิสิกส์ที่พลังงานมีค่าต่อเนื่อง(เขาไม่ได้คิดว่ารังสีความร้อนมีพลังงานไม่ต่อเนื่อง หากแต่เป็นตัวสั่นที่ผนังที่รับหรือสูญเสียพลังงานแบบเป็นก้อนๆ)

กฏเรย์ลีห์-จีน

ในช่วงเวลาที่พลังค์กำลังค้นหาคำตอบเกี่ยวธรรมชาติพื้นฐานของการแผ่รังสีของวัตถุดำ ลอร์ด เรย์ลีห์ ก็กระโดดเข้ามาศึกษาปัญหาเหมือนกัน แต่จุดเริ่มต้นของเขานั้นต่างจากพลังค์ตรงที่ว่าเขาไม่มองไปยังผนังว่าประกอบไปด้วยประจุจำนวนมากที่สั่นอยู่ แต่เขามองว่ารังสีความร้อนในโพรงนั้นทำตัวเป็นคลื่นนิ่ง ดังรูปด้านล่าง

ค่าความยาวคลื่นที่เป็นไปได้ตามเงื่อนไขขอบคือ

ทำให้ความถี่ที่เกิดขึ้นได้คือ

 โดย  

ซึ่งความถี่ที่อยู่ติดกันห่างกัน

ตอนนี้เรานิยามให้

จำนวนโหมดที่อยู่ระหว่าง

 และ =

โดยที่

โตกว่าระยะห่างระหว่าง 2 ความถี่ที่ใกล้กัน ดังนั้นแต่ละโหมด(ของความถี่)ที่เป็นไปได้จะสอดคล้องกับจำนวนเต็มที่อยู่บนแกน 1 มิติโดยแต่ละค่าห่างกันเท่ากับ

เรารู้ว่าสำหรับคลื่นนิ่งนั้นสามารถเขียนอยู่ในรูป

โดยที่ คือ เวฟเวกเตอร์ และ   ดังนั้น จากเงื่อนไขของความยาวคลื่นข้างต้นทำให้เราได้เงื่อนไข

แต่ละโหมด(ของ

)ที่เป็นไปได้จะสอดคล้องกับจำนวนเต็มที่อยู่บนแกน 1 มิติโดยแต่ละค่าห่างกันเท่ากับ และ  

ในความจริงกล่องเป็นกล่อง 3 มิติ ดังนั้นเราจะมีเงื่อนไขทั้งหมดคือ

ปริมาตรหนึ่งหน่วยบนปริภูมิ มีค่าเท่ากับ

และสำหรับกรณี  3 มิติ

ซึ่งมองว่า

คือ ขนาดของเวกเตอร์ ดังนั้นจำนวนโหมดที่เป็นไปได้ระหว่าง  และ คือ ปริมาตรของเ ​ปลือกทรงกลมที่มีรัศมี และหนา หากเราพิจารณาเฉพาะในควอแดรนท์ดังนั้นจึงต้องคูณ 1/8 อีกทั้งต้องมีตัวคูณ 2 เนื่องจากสถานะโพลาไลเซชันของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ดังนั้น

จากหลักการแบ่งเท่าของพลังงานสำหรับตัวสั่นฮาร์มอนิกจะได้  

 ดังนั้นความหนาแน่นพลังงานคือ

  หรือ

หากทำการเทียบกับสิ่งที่พลังค์ได้ก่อนหน้านี้

สำหรับความถี่ต่ำๆ(หรือความคลื่นโตๆ)

เราจะประมาณได้ว่า

ดังนั้น

ซึ่งตรงกับของเรย์ลีห์พอดี 

แน่นอนว่าสิ่งที่เรย์ลีห์ได้นั้นเป็นแค่การประมาณจากของพลังค์สำหรับช่วงความยาวคลื่นโตๆ สำหรับความยาวคลื่นต่ำๆ(หรือความถี่สูงๆ) สมการของเรย์ลีห์บอกว่าพลังงานที่ออกมากับรังสีความร้อนนั้นมีค่าอนันต์ เออเรนเฟส ได้นิยามสถานะการณ์ดังกล่าวว่า ความชิบหายช่วงแสงเหนือม่วง ! (Ultraviolet catastrophe) 

หากธรรมชาติเป็นตามสมการของเรย์ลีห์นั้นหมายความว่า หากเรานั่งอยู่หน้ากองไฟเราจะเกรียมทันทีเพราะไม้ที่ไหม้ไฟนั้นปลดปล่อยรังสีความร้อนทุกช่วงคลื่น สำหรับรังสีความร้อนที่ความยาวคลื่นต่ำๆพลังงานจะมีค่ามหาศาล(ตายหยังเขียด)

ไอน์สไตน์ผู้ชี้ทางสว่าง

อย่างที่ได้กล่าวไปก่อนหน้านี้แล้วพลังค์เสนองานของเขาในเดือนธันวาคม 1900 แต่คนส่วนใหญ่นั้นไม่ได้สนใจเท่าไรอยู่หลายปี พูดง่ายๆไม่มีใครเห็นถึงความสำคัญแม้กระทั่งตัวพลังค์เองก็ตาม

ในเดือนมีนาคม 1905 ไอน์สไตน์สนใจปัญหาการแผ่รังสีความร้อนของวัตถุดำ เขาเทียบสิ่งที่เรย์ลีห์ได้และพลังค์ได้ เขารู้ว่าสมการเรย์ลีห์มีปัญหาที่ความถี่สูงๆ เขาจึงพิจารณาสมการของพลังค์ในช่วงความถี่สูงๆ

ซึ่งสมการพลังค์จะได้

(จะเห็นได้ว่าตรงกับสิ่งที่วีนได้ก่อนหน้านี้ หากทำการเทียบค่าคงที่)

ไอน์สไตน์นำฟังก์ชันการกระจายตัวของอะตอมตามความเร็วมาพิจารณา

และความหนาแน่นพลังงาน

หากนำสมการของพลังค์ที่ความถี่สูงๆมาเขียนใหม่ในรูป

เมื่อเทียบกันดูแล้วไอน์สไตน์เสนอว่าที่ความถี่สูงๆ รังสีความร้อนนั้นทำตัวเป็นก๊าซอุดมคติที่มีพลังงาน  

ดังนั้นไอน์สไตน์สรุปว่า รังสีความร้อนนั้นมีพลังงานเป็นก้อน (สมบัตินี้ไม่ได้มีแค่ประจุสั่นที่ผนังตามแนวคิดพลังค์เท่านั้น) ซึ่งต่อมาเจ้าก้อนพลังงานของรังสีความร้อนหรือคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้านี้รู้จักกันในชื่อ โฟตอน นั้นเอง

ไอน์สไตน์ยังเสนอว่า ตัวสั่นใดๆนั้นมีธรรมชาติของการคลอบครองพลังงานเป็นก้อนเหมือนกันหมด เช่น อะตอมเดี่ยว หรือ อะตอมคู่ หรือ อื่นๆ(ก้อนโตหรือก้อนเล็กขึ้นกับธรรมชาติความถี่ของตัวสั่น) ดังนั้นไม่ว่าโพรงจะสร้างจากวัสถุอะไรก็จะมีธรรมชาติอย่างที่พลังค์ทำนาย

นอกจากนั้นแล้วไอน์สไตน์ยังมองว่าพจน์

ในความสัมพันธ์ของพลังค์คือ พลังงานเฉลี่ยของตัวสั่นสำหรับความถี่ และ อุณหภูมิ ตรงนี้สามารถเห็นได้จากการพิจาณาการกระจายตัวของโบลท์มานน์ ความน่าจะเป็นของระบบตัวสั่น ณ อุณหภูมิ ทีมีพลังงาน

 แปรผันตรงกับ

ดังนั้น

ซึ่งให้ผลของการแบ่งเท่าพลังงาน แต่ไม่เป็นจริงอีกต่อไปเพราะว่าตอนนี้ตัวสั่นนั้นพลังงานไม่ต่อเนื่องอีกต่อไป หากแต่เป็นชั้นๆ

  ซึ่งแต่ละค่าพลังงานมีความน่าจะเป็นสัมพันธ์กันดังนี้ ดังนั้นพลังงานเฉลื่ยสำหรับกรณีนี้คือ

ตรงนี้สรุปว่า เราไม่สามารถมองว่าตัวสั่นมีพลังงานต่อเนื่อง

หากแต่ต้องเป็นก้อน ผลที่ได้จึงสอดคล้องกับผลของพลังค์และนี้ถือเป็นการเปิดหน้าประวัติศาสตร์ใหม่ของวงการฟิสิกส์นำไปสู่ศาสตร์ที่เรียกว่า ควอนตัมฟิสิกส์

เรื่องราวการพัฒนาแนวคิดควอนตัมฟิสิกส์นั้นยังมีอีกมากมาย การโต้เถียงกันระหว่างนักฟิสิกส์กันเกี่ยวกับธรรมชาติในระดับอะตอมนั้นนำมาสู่สิ่งที่เราเรียนและใช่ผลของความเข้าใจมัน(ระดับหนึ่ง)ผ่านเทคโนโลยีในรูปแบบต่างๆมากมาย ติดตามตอนต่อไปกันนะครับ